Множество уровня

В математике множество уровня вещественной функции f от n вещественных переменных^[англ.] — это множество вида

Когда число переменных равно двум, обычно множество уровня представляет собой кривую, которая называется линией уровня, изолинией или контурной линией. Так, кривая уровня является множеством всех вещественных решений уравнения от двух переменных x₁ и x₂. Когда ${\displaystyle n=3}$, множество уровня называется поверхностью уровня (или также изоповерхностью), а в случае большего числа переменных n множество уровня является гиперповерхностью. Так, поверхностью уровня является множество всех вещественных корней уравнения от трёх переменных ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ и ${\displaystyle x_{3}}$, а гиперповерхностью уровня является множество всех вещественных корней уравнения от n (n > 3) переменных.

Например, неявная кривая — это множество уровня, которая рассматривается отдельно от соседних кривых, подчёркивая, что такая кривая определяется неявной функцией. Аналогично, поверхность уровня иногда называется неявной поверхностью или изоповерхностью.

Также иногда используется название изоконтур^[1], которое обозначает контур равной высоты. В различных областях изоконтуры получают специфичные названия, часто отражающие природу значений рассматриваемой функции, такие как изобара, изотерма, изогона, изохрона^[англ.], изокванта и кривая безразличия.

Точки на сечении с константой ${\displaystyle x_{2}=f(x_{1})}$.

Линии сечений с константами ${\displaystyle x_{3}=f(x_{1},x_{2})}$.

Плоскости сечений с константами ${\displaystyle x_{4}=f(x_{1},x_{2},x_{3})}$.

Множества ${\displaystyle (n-1)}$-мерных уровней для функций вида ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}}$ в ${\displaystyle (n+1)}$-мерном евклидовом пространстве для n = 1, 2, 3, где ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$ — константы.

Точки на сечении ${\displaystyle x_{2}=f(x_{1})}$.

Контурные кривые сечений ${\displaystyle x_{3}=f(x_{1},x_{2})}$.

Поверхности постоянного уровня ${\displaystyle x_{4}=f(x_{1},x_{2},x_{3})}$.

Множества ${\displaystyle (n-1)}$-мерных уровней для нелинейных функций ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ в ${\displaystyle (n+1)}$-мерном евклидовом пространстве для n = 1, 2, 3.