Модулярная функция

---

Модулярная функция — мероморфная функция, определённая на верхней комплексной полуплоскости (то есть на множестве ${\displaystyle \mathbb {H} =\{x+iy\mid y>0;x,y\in \mathbb {R} \}}$), являющаяся инвариантной относительно превращений модулярной группы или некоторой её подгруппы и удовлетворяющая условиям голоморфности в параболических точках. Модулярные функции и обобщающие их модулярные формы^[⇨] широко используются в теории чисел, а также в алгебраической топологии и теории струн.

принадлежащей модулярной группе ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {Z} )}$.

Модулярной формой веса ${\displaystyle k}$ для группы ${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$ называется голоморфная функция ${\displaystyle f\colon H\rightarrow C}$, удовлетворяющая условию:

Пусть ${\displaystyle H}$ — верхняя комплексная полуплоскость: ${\displaystyle H=\left\{z\in C\mid \mathop {\mathrm {Im} } (z)>0\right\}}$. Группа матриц ${\displaystyle \Gamma _{0}(N)}$ для натурального числа ${\displaystyle N}$ определяется как:

---