Моноидальная категория

---

Моноидальная категория (или тензорная категория) — категория C, снабженная бифунктором

который ассоциативен с точностью до естественного изоморфизма, а также объектом I, который является единицей для ⊗ также с точностью до естественного изоморфизма. Также на естественные изоморфизмы накладываются некоторые дополнительные условия. В моноидальной категории можно дать определение моноида, обобщающее свойства моноида из общей алгебры. На самом деле, обычные моноиды — это моноиды в категории множеств с прямым произведением в качестве моноидального произведения.

Обычное тензорное произведение делает векторные пространства, абелевы группы и модули моноидальными категориями, произвольные моноидальные категории можно рассматривать как обобщение этих примеров.

Формально, моноидальная категория — это категория ${\displaystyle \mathbf {C} }$, снабжённая:

Из этих условий следует, что любая диаграмма этого типа (то есть диаграмма, стрелки которой составлены из ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle \rho }$, единицы и тензорного произведения) коммутативна: это составляет предмет теоремы о когерентности Маклейна. Например, несколькими применениями ассоциатора легко показать, что ${\displaystyle (A_{N}\otimes A_{N-1})\otimes \cdots )\otimes A_{2})\otimes A_{1})}$ и ${\displaystyle (A_{N}\otimes (A_{N-1}\otimes \cdots \otimes (A_{2}\otimes A_{1})}$ изоморфны. Ассоциаторы можно применять в разном порядке (например, на диаграмме приведено два способа для N=4), но из теоремы о когерентности следует, что разные последовательности применений задают одно и то же отображение.

Строго моноидальная категория — это категория, для которой естественные изоморфизмы α, λ, ρ — тождественные.

---