Неприводимое представление

---

Неприводимое представление ${\displaystyle (\rho ,V)}$ алгебраической структуры ${\displaystyle A}$ — это ненулевое представление, которое не имеет собственного подпредставления ${\displaystyle (\rho |_{W},W),W\subset V}$, замкнутого по ${\displaystyle \{\rho (a):a\in A\}}$.

Любое конечномерное унитарное представление^[англ.] на эрмитовом векторном пространстве ${\displaystyle V}$^[1] является прямой суммой неприводимых представлений. Поскольку неприводимые представления всегда неразложимы (то есть не могут быть разложены далее на прямую сумму представлений), эти термины часто путаются. Однако, в общем случае, существует много приводимых, но неразложимых представлений, таких как двумерное представление вещественных чисел, действующее посредством верхних треугольных унипотентных матриц.

Теорию представления групп обобщил Ричард Брауэр в 1940-х годах, дав модульную теорию представления^[англ.], в которой матричные операции действуют на векторном пространстве над полем ${\displaystyle K}$ с произвольной характеристикой, а не векторное пространство над полем вещественных чисел или над полем комплексных чисел. Структура, аналогичная неприводимому представлению в получающейся теории, — это простой модуль.

Пусть ${\displaystyle \rho }$ будет представлением, то есть гомоморфизмом ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$ группы ${\displaystyle G}$, где ${\displaystyle V}$ является векторным пространством над полем ${\displaystyle F}$. Если мы выберем базис ${\displaystyle B}$ для ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle \rho }$ можно считать функцией (гомоморфизмом) из группы в множество обратимых матриц и в этом контексте представление называется матричным представлением. Однако всё сильно упрощается, если мы рассматриваем пространство ${\displaystyle V}$ без базиса.

---