Оператор замыкания

---

Оператор замыкания — обобщение интуитивной концепции замыкания. Именно: если ${\displaystyle \langle P,\leqslant \rangle }$ — частично упорядоченное множество, оператор ${\displaystyle C:P\to P}$ будет называться оператором замыкания, если выполнены три условия:

В роли множества ${\displaystyle P}$ часто выступает булеан некоторого другого множества ${\displaystyle S}$; примеры этого можно найти в топологии, алгебре и логике.

Элементы вида ${\displaystyle C(x)}$ называются замкнутыми, они образуют подмножество ${\displaystyle C(P)}$ в исходном частично упорядоченном множестве ${\displaystyle P}$. Оператор замыкания полностью определяется множеством замкнутых элементов; а именно, замыкание элемента ${\displaystyle x\in P}$ — это наименьший замкнутый элемент, больший или равный данного:

Множество всех замкнутых элементов иногда называют муровским семейством^[1] в честь американского математика Элиакима Мура, исследовавшего замыкания в 1910 году^[2]. Некоторые частные случаи замыкания называют оболочкой (например, выпуклая оболочка или линейная оболочка) — это позволяет избегать путаницы с понятием замкнутого множества.

В топологии изучается замыкание множества. Топологическое замыкание «уважает» конечное объединение множеств:

В частности, при ${\displaystyle n=0}$ эта формула превращается в ${\displaystyle C(\varnothing )=\varnothing }$.

---