Полупрямое произведение

---

Полупрямое произведение — конструкция в теории групп, позволяющая строить новую группу по двум группам ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle N}$, и действию ${\displaystyle \phi }$ группы ${\displaystyle H}$ на группе ${\displaystyle N}$ автоморфизмами.

Полупрямое произведение групп ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle H}$ над ${\displaystyle \phi }$ обычно обозначается ${\displaystyle N\rtimes _{\phi }H}$.

Пусть задано действие группы ${\displaystyle H}$ на пространстве группы ${\displaystyle N}$ с сохранением её групповой структуры. Это означает, что задан гомоморфизм ${\displaystyle \phi :H\rightarrow {\mbox{Aut}}(N)}$ группы ${\displaystyle H}$ в группу автоморфизмов группы ${\displaystyle N}$. Автоморфизм группы ${\displaystyle N}$, соответствующий элементу ${\displaystyle h}$ из ${\displaystyle H}$ при гомоморфизме ${\displaystyle \phi }$, обозначим ${\displaystyle \phi _{h}}$. За множество элементов полупрямого произведения ${\displaystyle G=N\rtimes _{\phi }H}$ групп ${\displaystyle H}$ и ${\displaystyle N}$ над гомоморфизмом ${\displaystyle \phi }$ — берётся прямое произведение ${\displaystyle N\times H}$.Бинарная операция ${\displaystyle *}$ на ${\displaystyle G}$ определяется по следующему правилу:

Всякая группа со свойствами 1—3 изоморфна группе ${\displaystyle G}$ (свойство универсальности полупрямого произведения групп).

---