Проективная плоскость

---

Проекти́вная пло́скость — двумерное проективное пространство. Важным частным случаем является вещественная проективная плоскость.

Проективная плоскость отличается важной ролью, которую играет так называемая аксиома Дезарга, в проективных пространствах больших размерностей являющаяся теоремой.

Проективная плоскость над телом ${\displaystyle K}$ — это множество одномерных подпространств (прямых, проходящих через ноль) трёхмерного линейного пространства ${\displaystyle K^{3}}$. Данные прямые называются точками проективной плоскости. Проективная плоскость над телом ${\displaystyle K}$ обычно обозначается ${\displaystyle K\mathrm {P} ^{2}}$, например ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{2}}$, ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{2}}$, ${\displaystyle \mathbb {H} \mathrm {P} ^{2}}$ и так далее.

Классическая проективная плоскость П определяется следующими аксиомами. Первые четыре из них являются обязательными.

Представим вещественную проективную плоскость P²(R) как множество прямых в R³ . Её точки образуют пучок всех прямых, проходящих через начало координат. Построим единичную сферу. Тогда каждая наша прямая (точка P²(R)) пересекает сферу в двух противоположных точках: x и -x. Из этого легко получается другая модель. Отбросим верхнюю полусферу z > 0. Каждой точке на отброшенной полусфере соответствует точка на нижней полусфере, а диаметрально противоположные точки на экваториальной окружности нижней полусферы отождествляются. «Выпрямляя» полусферу, получаем круг, у которого отождествлены диаметрально противоположные точки граничной окружности. Круг гомеоморфен квадрату, противоположные стороны которого отождествляются (в направлении стрелок). Как показано на следующем рисунке, этот квадрат гомеоморфен кругу D² с приклеенным листом Мёбиуса μ. Поэтому проективная плоскость неориентируема.

---