Вещественная проективная плоскость является примером компактного неориентированного двумерного многообразия, другими словами, односторонней поверхности. Проективную плоскость невозможно вложить в обычное трёхмерное пространство без самопересечения. Основная область применения этой плоскости — геометрия, поскольку основное построение вещественной проективной плоскости — пространство прямых в R3, проходящих через начало координат.
Плоскость часто описывают топологически в терминах построения на основе ленты Мёбиуса — если склеить (единственный) край ленты Мёбиуса с собой в правильном направлении, получим проективную плоскость (это нельзя осуществить в трёхмерном пространстве). Эквивалентно, приклеивание круга вдоль границы ленты Мёбиуса даёт проективную плоскость. Топологически, поверхность имеет эйлерову характеристику 1, поскольку полурод (неориентируемый или эйлеров род) равен 1.
Поскольку лента Мёбиуса, в свою очередь, может быть построена из квадрата путём склеивания двух его сторон, вещественная проективная плоскость может быть представлена как единичный квадрат (то есть [0,1] × [0,1]), в котором стороны отождествлены следующим отношением эквивалентности:
Проективная геометрия не обязательно касается кривизны и вещественная проективная плоскость может быть скручена и помещена в евклидову плоскость или трёхмерное пространство многими способами[1]. Некоторые важные примеры вложения плоскости описаны ниже.
Проективную плоскость нельзя вложить (без пересечений) в трёхмерное евклидово пространство. Доказательство этого делается примерно так: Предположим, что плоскость вложена, тогда проективная плоскость ограничивает компактную область трёхмерного евклидова пространства согласно обобщённой теореме Жордана. Направленное вовне единичное векторное поле задаёт тогда ориентацию границы многообразия, однако границей многообразия служит проективная плоскость, которая не ориентируема. Получили противоречие.
Рассмотрим сферу, пусть большие круги сферы будут «прямыми», а пары антиподальных точек[англ.] будут «точками». Легко проверить, что система подчиняется аксиомам проективной плоскости: