Пространство непрерывных функций

---

Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ функции (обычно обозначается ${\displaystyle {\mathrm {C} }[a,b]}$, иногда ${\displaystyle C^{0}[a,b]}$ или ${\displaystyle C^{(0)}[a,b]}$ или ${\displaystyle C(a,b)}$) .Норма в этом пространстве определяется следующим образом:

Эту норму также называют нормой Чебышёва или равномерной нормой, так как сходимость по этой норме эквивалентна равномерной сходимости.

Аналогичным образом это пространство строится так же и над областями и их замыканиями. В случае некомпактного множества максимум надо заменить на точную верхнюю грань.

Итак, пространством непрерывных ограниченных функций (вектор-функций) ${\displaystyle C(X,Y)}$ называется множество всех непрерывных ограниченных функций ${\displaystyle x:X\to Y}$ со введённой на нём нормой:

Наряду с чебышёвской нормой часто рассматривается пространство непрерывных функций с интегральной нормой:

В смысле этой нормы пространство непрерывных на отрезке функций уже не образует полного линейного пространства. Фундаментальной, но не сходящейся в нем является, например, последовательность ${\displaystyle x_{n}}$

---