Равномощность

---

Равномощность — отношение двух произвольных (конечных или бесконечных) множеств, означающее, нестрого говоря, что одно множество содержит столько же элементов, сколько и другое. Конечные множества равномощны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковое число элементов. Например, множество традиционных зодиакальных созвездий и множество рёбер куба равномощны, так как оба содержат по 12 элементов.

Понятие равномощности, введенное Георгом Кантором в 1878 году, расширяет это отношение на бесконечные множества, на него опирается определение центрального в теории множеств понятия мощности множества. Кантор также определил сравнение мощностей — если два множества не равномощны, то мощность одного из них больше, чем у другого (в доказательстве используется аксиома выбора).

Определение 1. Функция ${\displaystyle f,}$ определённая на множестве ${\displaystyle A}$ и принимающая значения во множестве ${\displaystyle B,}$ называется взаимно-однозначным соответствием^[1], если:

Легко видеть, что взаимно-однозначное соответствие как функция имеет (однозначную) обратную функцию, определённую на всём множестве ${\displaystyle B.}$

Определение 2. Два множества называют равномощными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие^[2]. Варианты терминологии: равномощные множества «имеют одинаковую мощность» или «одинаковое кардинальное число».

В указанном соответствии любому элементу каждого из равномощных множеств соответствует ровно один элемент другого множества.

---