Размерность Крулля

---

Размерность Крулля — числовая характеристика коммутативных колец, наибольшая длина цепочки вложенных друг в друга простых идеалов данного кольца. Не обязательно является конечной даже для нётеровых колец.

Размерность Крулля позволяет сформулировать чисто алгебраическое определение размерности алгебраического многообразия: размерность аффинного алгебраического многообразия, заданного идеалом ${\displaystyle I}$ в кольце многочленов ${\displaystyle R}$ — это размерность Крулля факторкольца ${\displaystyle R/I}$.

принимается за ${\displaystyle n}$, то есть считается число строгих включений, а не число идеалов. Размерность Крулля кольца ${\displaystyle R}$ — это максимум длины по множеству всех цепочек простых идеалов ${\displaystyle R}$.

Для простого идеала ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ можно определить его коразмерность (также называют высотой или рангом), обозначаемую ${\displaystyle \operatorname {codim} ({\mathfrak {p}})}$, как максимальную длину цепочки простых идеалов вида ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}\subseteq {\mathfrak {p}}}$.

Если R — коммутативное кольцо и M — R-модуль, размерность Крулля M определяется как размерность Крулля факторкольца по аннулятору модуля:

где Ann_R(M) — это ядро естественного отображения R → End_R(M) (сопоставляющего элементу кольца умножение на этот элемент).

---