Размерность Лебега

---

Размерность Лебега или топологическая размерность — размерность, определённая посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства ${\displaystyle X}$ обычно обозначается ${\displaystyle \dim X}$.

Для компактного метрического пространства ${\displaystyle X}$ размерность Лебега определяется как наименьшее целое число ${\displaystyle n}$, обладающее тем свойством, что при любом ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует конечное открытое ${\displaystyle \varepsilon }$-покрытие ${\displaystyle X}$, имеющее кратность ${\displaystyle \leqslant n+1}$;

Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства ${\displaystyle X}$ размерностью Лебега называется наименьшее целое число ${\displaystyle n}$ такое, что для всякого конечного открытого покрытия пространства ${\displaystyle X}$ существует вписанное в него (конечное открытое) покрытие кратности ${\displaystyle n+1}$.

При этом покрытие ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ называется вписанным в покрытие ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$, если каждый элемент покрытия ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$.

Впервые введена Анри Лебегом. Он высказал гипотезу, что размерность ${\displaystyle n}$-мерного куба равна ${\displaystyle n}$.Лёйтзен Брауэр впервые доказал это. Точное определение инварианта ${\displaystyle \dim X}$ (для класса метрических компактов) дал Павел Самуилович Урысон.

---