Теория размерности

---

Тео́рия разме́рности — часть общей топологии, в которой изучаются размерности — числовые топологические инварианты определённого типа. Размерность определяются тем или иным естественным образом на широком классе топологических пространств. При этом, если${\displaystyle X}$ есть полиэдр (в частности, многообразие) размерность ${\displaystyle X}$ совпадает с числом измерений в смысле элементарной геометрии.

Первое общее определение размерности (большой индукционной размерности ${\displaystyle \operatorname {Ind} }$) было дано Брауэром (1913), оно основывалось на идее Пуанкаре. В 1921 г. Менгер и Урысон независимо от Брауэра и друг от друга пришли к похожему определению (так называемая малая индуктивная размерность ${\displaystyle \operatorname {ind} }$). Совершенно иной подход к понятию размерности берёт начало от Лебега.

Размерность Хаусдорфа — связное определение для метрических пространств. Это определение дал Хаусдорф в 1919 году.

Топологическая фигура является нульмерной, если в ней не существует никакой связной фигуры, содержащей более одной точки. Множество имеет размерность нуль, если любая его точка имеет сколь угодно малую относительную окрестность с пустой границей^[1].

Множество имеет размерность единица, если оно не является нульмерным, но у любой его точки есть сколь угодно малая относительная окрестность, граница которой нульмерна. Множество имеет размерность ${\displaystyle n}$, если оно не является ${\displaystyle n-1}$, но у любой его точки есть сколь угодно малая относительная окрестность, граница которой нульмерна^[2].

Точку ${\displaystyle a}$ множества ${\displaystyle X}$ отделяет от точки ${\displaystyle b}$ множество ${\displaystyle A}$ если в фигуре ${\displaystyle X}$ не существует связного множества, которое содержит точки ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ и не пересекается с ${\displaystyle A}$.

---