Теория Куммера

---

В алгебраической теории чисел теория Куммера дает описание некоторых видов расширений поля, состоящих в добавлении к исходному полю корня n-ой степени из его элемента. Теория была разработана Эрнстом Эдуардом Куммером около 1840 года в его работе, связанной с теоремой Ферма.

При условии, что характеристика поля p взаимно проста с n при p > 0, основное утверждение теории не зависит от природы поля и потому относится к общей алгебре.

Теория Куммера имеет аналог для случая n=р (теория Артина — Шрейера). Роль группы ${\displaystyle \mu _{n}}$ (см. ниже) в этом случае играет аддитивная группа простого подполя ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ исходного поля.

Существует также принадлежащее Э. Витту обобщение этой теории для случая ${\displaystyle n=p^{s}}$, где ${\displaystyle s>1}$, использующее векторы Витта.

Теория Куммера является базовой, например, в теории полей классов и в понимании абелевых расширений. Она утверждает, что при наличии достаточного числа корней из единицы циклические расширения могут быть поняты в терминах выделения корней.

Расширение Куммера — это расширение поля L/K (то есть вложение поля K в поле L), такое что для некоторого целого n > 1 выполняются следующие два условия:

---