Регулярное локальное кольцо

Регулярное локальное кольцо — нётерово локальное кольцо, такое что число образующих его максимального идеала совпадает с размерностью Крулля. Название регулярное объясняется геометрическими причинами. Точка $x$ алгебраического многообразия $X$ является неособой (регулярной) тогда и только тогда, когда локальное кольцо ${\mathcal {O}}_{X,x}$ ростков рациональных функций в точке $x$ регулярно.

Существует несколько полезных определений регулярного локального кольца. В частности, если $A$ — нётерово локальное кольцо с максимальным идеалом ${\mathfrak {m}}$ , следующие определения эквивалентны:

Если $(A,{\mathfrak {m}})$ — полное регулярное локальное кольцо, содержащее некоторое поле, то

где $k=A/{\mathfrak {m}}$ , а $d$ — размерность Крулля.

Определение регулярного локального кольца было дано Вольфгангом Круллем в 1937 году,^[1] однако они стали известными благодаря работам Оскара Зарисского,^[2]^[3] который доказал что регулярные локальные кольца соответствуют гладким точкам алгебраических многообразий. Пусть Y — алгебраическое многообразие, содержащееся в n-мерном аффинном пространстве над совершенным полем, задающееся как множество общих нулей многочленов (от n переменных) f₁,…,f_m. Y является особым в точке P, если ранг матрицы Якоби (матрицы (∂f_i/∂x_j)) в этой точке ниже, чем в другой точке многообразия. Размерность многообразия равна разности n и ранга матрицы Якоби в неособой точке. Зарисский доказал, что матрица Якоби точка P неособая тогда и только тогда, когда локальное кольцо многообразия Y в P регулярно. (Зарисский также заметил, что это не обязательно верно над несовершенными полями.) Из этого следует, что гладкость является внутренним свойством многообразия, то есть не зависит от конкретного вложения многообразия в аффинное пространство. В 1950-х годах Аусландер и Бухсбаум доказали, что регулярное локальное кольцо факториально.