Свободный модуль

---

Свобо́дный мо́дуль — модуль F над кольцом R (как правило, считаемым ассоциативным c единичным элементом), если он либо является нулевым, либо обладает базисом, то есть непустой системой S элементов e₁,…e_i…, которая является линейно независимой и порождает F. Само кольцо R, рассматриваемое как левый модуль над собой, очевидно обладает базисом, состоящим из одного единичного элемента кольца, а каждый модуль с конечным базисом из n элементов изоморфен прямой сумме Rⁿ колец R, рассматриваемых как модули.

Важно обратить внимание, что в некоторых случаях свободный модуль может обладать двумя конечными базисами, состоящими из разного числа элементов. Так как в этом случае модуль M будет изоморфен как R^m так и Rⁿ, где m≠n, то этот случай возможен тогда и только тогда, когда над кольцом R существуют матрицы A размера m×n и B размера n×m, такие, что AB=I_m и BA=I_n, где I_m и I_n — единичные квадратные матрицы. Ясно, что в случае, когда кольцо R допускает гомоморфизм в тело (это будет так, например, в случае коммутативных колец), данная ситуация невозможна в силу свойства ранга матрицы. В этом случае число элементов базиса называется рангом кольца R и обозначается rank R или rk R. В случае векторного пространства ранг пространства является его размерностью.

Так как любая абелева группа является модулем над кольцом целых чисел Z, то всё вышеописанное относится и к свободным абелевым группам.

Свойство модуля быть свободным можно выразить в терминах теории категорий. Линейная функция между свободными модулями ${\displaystyle f:F_{1}\to F_{2}}$ однозначно определяется своими значениями на базисе ${\displaystyle F_{1}}$, обратно, произвольная функция, определенная на базисе, может быть продолжена до линейной функции. Эти свойства базиса можно формализовать при помощи универсального свойства.

---