Скалярный потенциал

---

Скаля́рный потенциа́л векторного поля ${\displaystyle \mathbf {A} }$ (чаще просто потенциал векторного поля) — это скалярная функция ${\displaystyle \phi }$ такая, что во всех точках области определения поля

где ${\displaystyle \operatorname {grad} \phi }$ обозначает градиент ${\displaystyle \phi }$. В физике обычно потенциалом называют величину, противоположную по знаку (потенциал силы, потенциал электрического поля).

Поле называется потенциальным, если для него существует скалярный потенциал. Для потенциального поля криволинейный интеграл между двумя точками:

не зависит от пути интегрирования ${\displaystyle C=\left\{\mathbf {r} (t)|t\in [a,b]\right\}}$, соединяющего эти точки. Это равносильно тому, что интеграл по любому замкнутому контуру ${\displaystyle C}$ равен нулю:

В физических терминах это означает, что механическая работа по перемещению пробного тела в силовом потенциальном поле не зависит от траектории перемещения, а только от положения начальной и конечной точек траектории.

Непрерывное векторное поле в односвязной области трёхмерного пространства потенциально тогда и только тогда, когда оно безвихревое:

---