Бинарное отношение

---

Бина́рное (двуме́стное) отноше́ние (соответствие^[1][2]) — отношение между двумя множествами ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, то есть всякое подмножество декартова произведения этих множеств: ${\displaystyle R\subseteq A\times B}$^[3]. Бинарное отношение на множестве ${\displaystyle A}$ — любое подмножество ${\displaystyle R\subseteq A^{2}=A\times A}$, такие бинарные отношения наиболее часто используются в математике, в частности, таковы равенство, неравенство, эквивалентность, отношение порядка.

Бинарное отношение ${\displaystyle R}$ на некотором множестве ${\displaystyle M}$ может обладать различными свойствами, например:

Так как отношения, заданные на фиксированной паре множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ суть подмножества множества ${\displaystyle A\times B}$, то совокупность всех этих отношений образует булеву алгебру относительно операций объединения, пересечения и дополнения отношений. В частности, для произвольных ${\displaystyle a\in A}$, ${\displaystyle b\in B}$:

Часто вместо объединения, пересечения и дополнения отношений говорят об их дизъюнкции, конъюнкции и отрицании.

Например, ${\displaystyle ({=})\cup ({<})=({\leqslant })}$, ${\displaystyle ({=})\cap ({<})=\varnothing }$, то есть объединение отношения строгого порядка с отношением равенства совпадает с отношением нестрогого порядка, а их пересечение пусто.

---