Стохастическое исчисление Ито

---

Исчисление Ито — математическая теория, обобщающая методы математического анализа для применения к случайным процессам, таким как броуновское движение (см. также винеровский процесс). Названа в честь создателя, японского математика Киёси Ито. Часто применяется в финансовой математике и теории стохастических дифференциальных уравнений. Центральным понятием этой теории является интеграл Ито:

где ${\displaystyle H_{s}}$ — процесс, локально интегрируемый с квадратом^[англ.] и адаптированный^[англ.] под фильтрацию, порождённую процессом ${\displaystyle X_{s}}$, который, в свою очередь, является броуновским движением или, в более общей формулировке, полумартингалом^{[англ.][1]}. Можно показать, что к траекториям броуновского движения неприменимы стандартные методы интегрального исчисления. В частности, броуновское движение не является дифференцируемой функцией ни в одной точке траектории и имеет бесконечную вариацию по любому временному интервалу. Таким образом, интеграл Ито не может быть определен в смысле интеграла Римана — Стилтьеса. Однако, интеграл Ито можно определить корректно, если подынтегральная функция ${\displaystyle H_{s}}$ является адаптированным процессом, то есть её значение в момент времени ${\displaystyle t}$ зависит только от информации, доступной до этого момента времени.

Поведение стоимости акций и других финансовых активов можно промоделировать такими стохастическими процессами, как броуновское движение или более часто применяющееся геометрическое броуновское движение (см. также модель Блэка — Шоулза). В этом случае стохастический интеграл Ито представляет собой прибыль от непрерывной во времени рыночной стратегии, в которой в момент времени ${\displaystyle t}$ у участника рынка имеется ${\displaystyle H_{t}}$ ценных бумаг. В такой ситуации условие адаптированности процесса ${\displaystyle H}$ соответствует необходимому ограничению модели, заключающемуся в том, что рыночную стратегию в каждый момент времени можно основывать только на имеющейся в данный момент информации. Это условие предотвращает возможность поступления неограниченной прибыли посредством очень частой торговли, покупки акций перед каждым подъёмом стоимости и их продажи перед каждым падением. Более того, условие адаптированности подынтегрального процесса обеспечивает корректность определения стохастического интеграла как предела римановых сумм^[1].

---