Сферические функции

---

Сферические функции представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они широко используются для изучения физических явлений в пространственных областях, ограниченных сферическими поверхностями и при решении физических задач, обладающих сферической симметрией. Сферические функции имеют большое значение в теории дифференциальных уравнений в частных производных и теоретической физике, в частности в задачах расчёта электронных орбиталей в атоме, гравитационного поля геоида, магнитного поля планет и интенсивности реликтового излучения.

Сферические функции являются собственными функциями оператора Лапласа в сферической системе координат (обозначение ${\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )}$). Они образуют ортонормированную систему в пространстве функций на сфере ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ в трёхмерном пространстве:

где ^* обозначает комплексное сопряжение, ${\displaystyle \delta _{ll'}}$ — символ Кронекера.

где функции ${\displaystyle \Theta _{lm}(\theta )}$ являются решениями уравнения

Здесь ${\displaystyle P_{l}^{m}(\cos \theta )}$ — присоединённые многочлены Лежандра, а ${\displaystyle m!}$ — факториал.

Присоединенные многочлены Лежандра с отрицательным ${\displaystyle m}$ здесь вводятся как

---