Сюрреальные числа (англ. surreal number) — обобщение обычных вещественных чисел и бесконечных порядковых чисел. Впервые были использованы в работах английского математика Джона Конвея для описания ряда аспектов теории игр[1].
В 1907 году австрийский математик Ханс Хан представил ряды Хана[англ.] как обобщение формальных степенных рядов, а немецкий математик Феликс Хаусдорф ввёл некоторые упорядоченные множества, называемые ηα-множествами[англ.] для ординалов α, и спросил, можно ли найти совместимую упорядоченную группу или структуру поля. В 1962 году Норман Аллинг использовал модифицированную форму рядов Хана для построения таких упорядоченных полей, связанных с определёнными ординалами α, а взятие α в качестве класса всех ординалов в его построении даёт класс, который является упорядоченным полем, изоморфным сюрреальным числам[2].
Исследование ёсэ в игре го привело Джона Конвея к ещё одному определению и построению сюрреальных чисел[3]. Конструкция Конвея была использована в книге Дональда Кнута 1974 года «Сюрреальные числа». В своей книге, которая принимает форму диалога, Кнут придумал термин «сюрреальные числа» для того, что Конвей назвал «просто числами»[4]. Позднее Конвей принял термин Кнута и использовал их в своей книге «Числа и игры» 1976 года.
Помимо Конвея и Кнута, большой вклад в теорию сюрреальных чисел внёс математик Мартин Крускал. На тот момент сюрреальные числа уже имели все основные свойства и операции действительных чисел и включали в себя все действительные числа наряду со многими типами бесконечностей и бесконечно малых величин. Крускал внёс свой вклад в основы теории: определение сюрреальных функций и анализ их структуры[5]. Он также обнаружил связь между сюрреальными числами, асимптотикой и экспоненциальной асимптотикой. Важный вопрос, поднятый Конвеем, Крускалом и Нортоном в конце 1970-х годов и с большим упорством исследовавшийся Крускалом, заключается в том, обладают ли все сюрреальные функции определёнными интегралами. На этот вопрос ответили отрицательно Костин, Фридман и Эрлих в 2015 году[6]. Однако анализ Костина и др. показывает, что существуют определённые интегралы для достаточно широкого класса сюрреальных функций, к которым применимы представления Крускала об асимптотическом анализе.