Теорема Гливенко — Кантелли

---

Теорема Гливе́нко — Канте́лли в математической статистике уточняет результат о сходимости выборочной функции распределения к её теоретическому аналогу.

Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots }$ - бесконечная выборка из распределения, задаваемого функцией распределения ${\displaystyle F}$. Пусть ${\displaystyle {\hat {F}}}$ - выборочная функция распределения, построенная на первых ${\displaystyle n}$ элементах выборки. Тогда

где символ ${\displaystyle \sup }$ обозначает точную верхнюю грань.

В случае непрерывной функции распределения ${\displaystyle F}$ теорема была доказана советским математиком Гливенко. На случай произвольной функции распределения теорема обобщена итальянским математиком Кантелли. Оба результата опубликованы в одном и том же журнале в 1933 году.

Обозначим ${\displaystyle D_{n}(\omega )=\sup _{x\in \mathbb {R} }\left|{\hat {F}}(x)-F(x)\right|}$. Так как обе функции распределения непрерывны спрва, то значение в любой точке можно приблизить точками из рациональной окрестости ${\displaystyle D_{n}(\omega )=\sup _{x\in \mathbb {Q} }\left|{\hat {F}}(x)-F(x)\right|}$

Так как объединение счетного числа измеримых функций измеримо, то ${\displaystyle D_{n}}$ — случайная величина

---