Теорема Тейлора

Теорема Тейлора даёт приближение к функции, дифференцируемой k раз, вблизи данной точки с помощью многочлена Тейлора k-го порядка. Для аналитических функций многочлен Тейлора в данной точке является частичной суммой их ряда Тейлора, который, в свою очередь, полностью определяет функцию в некоторой окрестности точки. Точное содержание теоремы Тейлора до настоящего времени не согласовано. Конечно, существует несколько версий теоремы, применимых в различных ситуациях, и некоторые из этих версий содержат оценки ошибки, возникающей при приближении функции с помощью многочлена Тейлора.

Эта теорема названа в честь математика Брука Тейлора, который сформулировал одну из её версий в 1712 году. Явное выражение для ошибки приближения было дано намного позже Жозефом Лагранжем. Ранее, в 1671 году, Джеймсом Грегори уже было упомянуто следствие из теоремы.

Теорема Тейлора позволяет овладеть приёмами вычислений начального уровня, и она является одним из центральных элементарных инструментов в математическом анализе. При изучении математики она является начальной точкой для изучения асимптотического анализа. Теорема также используется в математической физике. Она также обобщается на функции нескольких переменных и векторные функции $f\,:\,\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ для любых размерностей $n$ и $m$ . Это обобщение теоремы Тейлора является базовым для определения так называемых струй, которые появляются в дифференциальной геометрии и в теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Если вещественно-значимая функция f(х) является дифференцируемой в точке a, то она имеет линейное приближение в точке a. Это означает, что существует функция h₁ такая, что

это линейное приближение функции f в точке a. График функции y = P₁(x) является касательной к графику функции f в точке x = a. Ошибка приближения такова

Заметим, что ошибка приближается к нулю немного быстрее, чем разница x − a приближается к нулю по мере того, как x стремится к a.