Теория трансцендентных чисел

---

Теория трансценде́нтных чисел — раздел теории чисел, изучающий трансцендентные числа, то есть числа (вещественные или комплексные), которые не могут быть корнями никакого многочлена с целыми коэффициентами. Например,такие важнейшие константы анализа, как ${\displaystyle \pi }$ и e, являются трансцендентными, а ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ не является, поскольку ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ есть корень многочлена ${\displaystyle x^{2}-2.}$

Одна из главных проблем данной теории — выяснить, является ли заданное число трансцендентным или нет. Методы и результаты теории трансцендентных чисел широко применяются при исследовании диофантовых уравнений.

Согласно основной теореме алгебры, любой ненулевой многочлен с целыми коэффициентами имеет комплексный корень. Другими словами, для любого полинома ${\displaystyle P(x)}$ с целыми коэффициентами существует комплексное число ${\displaystyle \alpha }$ такое, что ${\displaystyle P(\alpha )=0.}$ Теория трансцендентных чисел рассматривает преимущественно обратный вопрос: дано комплексное число ${\displaystyle \alpha }$; определить, существует ли многочлен ${\displaystyle P(x)}$ с целыми коэффициентами такой, что ${\displaystyle P(\alpha )=0.}$ Если доказано, что такого полинома не существует, значит, тем самым доказана трансцендентность числа ${\displaystyle \alpha }$.

Совокупность корней всех многочленов с целыми коэффициентами называется множеством алгебраических чисел. Например, всякое рациональное число ${\displaystyle {m \over n}}$ является алгебраическим как корень многочлена ${\displaystyle nx-m;}$ всевозможные конечные комбинации радикалов произвольной степени из целых чисел также относятся к алгебраическим числам. Таким образом, все комплексные числа делятся на два непересекающихся класса — алгебраические и трансцендентные. Как выяснилось, трансцендентных чисел в некотором смысле гораздо больше, чем алгебраических (см. ниже).

---