Алгебраическое число

---

Алгебраи́ческое число́ над полем ${\displaystyle \mathbb {F} }$ — элемент алгебраического замыкания поля ${\displaystyle \mathbb {F} }$, то есть корень многочлена (не равного тождественно нулю) с коэффициентами из ${\displaystyle \mathbb {F} }$.

Если поле не указывается, то предполагается поле рациональных чисел, то есть ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {Q} }$, в этом случае поле алгебраических чисел обычно обозначается ${\displaystyle \mathbb {A} }$. Это множество является подполем поля комплексных чисел.

Целыми алгебраическими числами называются корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице.

Если ${\displaystyle \alpha }$ — алгебраическое число, то среди всех многочленов с коэффициентами из поля ${\displaystyle \mathbb {F} }$, имеющих ${\displaystyle \alpha }$ своим корнем, существует единственный многочлен наименьшей степени и со старшим коэффициентом, равным единице. Такой многочлен называется минимальным, или каноническим, многочленом для алгебраического числа ${\displaystyle \alpha }$ над ${\displaystyle \mathbb {F} }$ (иногда каноническим называют многочлен, получающийся из минимального домножением его коэффициентов на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов, то есть многочлен с целыми коэффициентами). Степень канонического над ${\displaystyle \mathbb {F} }$ многочлена для ${\displaystyle \alpha }$ называется степенью алгебраического числа ${\displaystyle \alpha }$.

Другие корни канонического над ${\displaystyle \mathbb {F} }$ многочлена ${\displaystyle \alpha }$ называются сопряжёнными (по Галуа) с ${\displaystyle \alpha }$ над ${\displaystyle \mathbb {F} }$.

Минимальный над ${\displaystyle \mathbb {F} }$ многочлен по определению является неприводимым над ${\displaystyle \mathbb {F} }$.

---