Уравнение Бете — Солпитера

---

Уравнение Бете — Солпитера, названое в честь Х. Бете и Э. Солпитера, описывает связанные состояния двухчастичной квантовополевой системы в релятивистски ковариантной форме. Уравнение было впервые опубликовано в 1950 году в конце статьи Ёитиро Намбу, но без вывода.^[1]

Основным методом решения задач со взаимодействием, бесспорно, является теория возмущений, однако это далеко не единственный метод. Существуют, так называемые, непертурбативные методы и один из них ведет к уравнению Бете — Солпитера. Рассматривается система двух связанных фермионов. В свободной теории, как известно, для одночастичной волновой функции ${\displaystyle \psi _{a}}$ (где ${\displaystyle a}$ — спинорный индекс) пропагатор определяется следующим образом:

Тут используется запись с использованием «перечёркнутых матриц», ${\displaystyle n(x_{1})}$ — 4-х вектор внешней нормали. Интегрирование ведется по поверхности объёма, включающего в себя событие ${\displaystyle x_{2}}$, ${\displaystyle S_{F}}$. — фейнмановский пропагатор. В случае невзаимодействующих частиц он определяется как решение следующего уравнения^[2]:

Аналогично пропагатору для одночастичной волновой функции, можно определить пропагатор для двучастичной волновой функции следующим выражением:

Здесь ${\displaystyle \psi _{ab}}$ — спинор, обладающий двумя спинорными индексами ${\displaystyle a,b}$. В случае невзаимодействующих частиц, двучастичная волновая функция распадается в произведение одночастичных, а пропагатор в произведение пропагаторов:

Однако это самый тривиальный случай. Теперь же «включим» электромагнитное взаимодействие между двумя частицами. Если бы мы следовали идеологии теории возмущений, то получили бы, следуя Фейнману, ${\displaystyle S^{ab}}$ представляется в виде:

---