Кривизна римановых многообразий

---

Кривизна римановых многообразий численно характеризует отличие римановой метрики многообразия от евклидовой в данной точке.

В размерностях 3 и выше кривизна не может быть полностью охарактеризована одним числом в заданной точке, вместо этого она определяется как тензор.

Кривизна риманова многообразия может быть описана различными способами. Наиболее стандартным является тензор кривизны, заданный через связность Леви-Чивиты (или ковариантное дифференцирование) ${\displaystyle \nabla }$ и скобку Ли ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ по следующей формуле:

Тензор кривизны ${\displaystyle R(u,\;v)}$ представляет собой линейное преобразование касательного пространства к многообразию в выбранной точке.

Если ${\displaystyle u=\partial /\partial x_{i}}$ и ${\displaystyle v=\partial /\partial x_{j}}$, то есть они являются координатными векторами, то ${\displaystyle [u,\;v]=0}$, и поэтому формула упрощается:

Линейное преобразование ${\displaystyle w\mapsto R(u,\;v)w}$ также называют преобразованием кривизны.

---