Фу́нкции Бе́сселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:
где — произвольное вещественное число (в общем случае комплексное), называемое порядком.
Хотя и порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по ).
Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.
Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:
Функция Бесселя является обобщением функции синуса. Ее можно трактовать как колебание струны с переменной толщиной, переменным натяжением (или одновременно обоими условиями); колебаниями в среде с переменными свойствами; колебаниями дисковой мембраны и т. д.