Функция Вейерштрасса

---

Функция Ве́йерштрасса — пример непрерывной функции, нигде не имеющей производной; контрпример для гипотезы Ампера.

где ${\displaystyle a}$ — произвольное нечётное число, не равное единице, а ${\displaystyle b}$ — положительное число, меньшее единицы. Этот функциональный ряд мажорируется сходящимся числовым рядом

поэтому функция ${\displaystyle w}$ определена и непрерывна при всех вещественных ${\displaystyle x}$. Тем не менее, эта функция не имеет производной по крайней мере при

Для доказательства отсутствия производной в произвольной точке ${\displaystyle x_{0}}$ строят две последовательности ${\displaystyle \{x_{m}\}}$ и ${\displaystyle \{y_{m}\}}$, сходящиеся к точке ${\displaystyle x_{0}}$, и доказывают, что отношения

где ${\displaystyle \gamma _{m}}$ — ближайшее целое число к ${\displaystyle a^{m}x_{0}}$.

В 1806 году Ампер^[2] предпринял попытку доказать аналитически, что всякая «произвольная» функция дифференцируема всюду, за исключением «исключительных и изолированных» значений аргумента. При этом принималась за очевидное возможность разбиения интервала изменения аргумента на части, в которых функция была бы монотонна. С этими оговорками гипотезу Ампера можно рассматривать как нестрогую формулировку теоремы Лебега^[en][3]. В первой половине XIX века предпринимались попытки доказать гипотезу Ампера для более широкого класса, именно для всех непрерывных функций. В 1861 году Риман привёл своим слушателям в качестве контрпримера следующую функцию:

---