Централизатор и нормализатор
В математике централизатор подмножества S группы G — это множество элементов G, которые коммутируют с каждым элементом S, а нормализатор S — это множество элементов G, которые коммутируют с S «в целом». Централизатор и нормализатор S являются подгруппами G и могут пролить свет на структуру G.
В теории колец централизатор подмножества кольца определяется относительно операции полугруппы (умножения). Централизатор подмножества кольца R является подкольцом R. В этой статье также говорится о централизаторах и нормализаторах в алгебре Ли.
Идеализатор в полугруппе или кольце — это ещё одна конструкция в том же духе, что централизатор и нормализатор.
Иногда, в случае отсутствия двусмысленности, группа G полностью определяется нотацией. Если S={a} — множество, состоящее из единственного элемента, CG({a}) можно сократить до CG(a). Другим, менее употребимым, обозначением для централизатора служит Z(a), которое проводит параллель с обозначением центра группы. Здесь следует проявлять осторожность, чтобы не спутать центр группы G, Z(G), и централизатор элемента g в G, который обозначается как Z(g).
Определения похожи, но не идентичны. Если g — централизатор S и s принадлежит S, то должно выполняться , однако, если g — нормализатор, для некоторого t из S, возможно, отличного от s. То же соглашение об опускании G и скобок для множеств из единственного элемента также используется и для нормализатора. Нормализатор не следует путать с нормальным замыканием.
Если R — кольцо или алгебра, а S — подмножество кольца, то централизатор S в точности совпадает c определением для групп, только вместо G стоит R.