Центральная предельная теорема

---

Центра́льные преде́льные теоре́мы (ЦПТ) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.

Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают нормальным. При этом должно соблюдаться условие, что ни один из факторов не является доминирующим. Центральные предельные теоремы в этих случаях обосновывают применение нормального распределения.

Пусть ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ есть последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, имеющих конечные математическое ожидание ${\displaystyle \mu }$ и дисперсию ${\displaystyle \sigma ^{2}}$. Пусть также

где ${\displaystyle N(0,1)}$ — нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, равным единице. Определяя выборочное среднее первых ${\displaystyle n}$ величин как

В предположениях классической формулировки, допустим в дополнение, что распределение случайных величин ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ абсолютно непрерывно, то есть оно имеет плотность. Тогда распределение ${\displaystyle Z_{n}}$ также абсолютно непрерывно, и более того,

где ${\displaystyle f_{Z_{n}}(x)}$ — плотность случайной величины ${\displaystyle Z_{n}}$, а в правой части стоит плотность стандартного нормального распределения.

---