Модуль непрерывности

---

Для любой функции ${\displaystyle f}$, определённой на множестве ${\displaystyle E}$, можно ввести понятие модуля непрерывности этой функции, обозначаемого ${\displaystyle \omega _{f}(\delta )}$. Модуль непрерывности — тоже функция, по определению равная

или верхней грани колебания функции по всем подотрезкам из ${\displaystyle E}$ длиной меньше ${\displaystyle \delta }$. Также в литературе встречаются другие обозначения: ${\displaystyle \omega (f,\;\delta )}$ и (реже) ${\displaystyle \omega (\delta ,\;f)}$.

Модуль непрерывности оказался тонким инструментом исследования разнообразных свойств функции, таких как:

Нетрудно заметить, что в определении модуля непрерывности используется конечная разность первого порядка от функции ${\displaystyle f}$.

Если вместо конечной разности первого порядка взять конечную разность порядка ${\displaystyle n}$, то получим определение модуля непрерывности порядка ${\displaystyle n}$. Обычное обозначение для таких модулей — ${\displaystyle \omega _{n}(f,\;\delta )}$.

Известно много разных обобщений понятия модуля непрерывности. Например, можно заменить оператор конечной разности другим разностным оператором с произвольными коэффициентами. Можно разрешить этим коэффициентам быть непостоянными и меняться в зависимости от точки, где берётся этот разностный оператор. Можно разрешить и шагу, с которым берётся разностный оператор также зависеть от точки. Подобные неклассические модули непрерывности находят своё применение в различных областях современной математики.

---