Поточечная сходимость

---

В математике, поточечная сходимость последовательности функций на множестве — это вид сходимости, при котором каждой точке данного множества ставится в соответствие предел последовательности значений элементов последовательности в этой же точке.

Функция, определяемая таким образом, называется предельной функцией данной последовательности или её поточечным пределом, при этом говорится, что данная последовательность сходится поточечно к предельной функции.

Более сильный вид сходимости — равномерная сходимость: если функциональная последовательность сходится равномерно, то эта последовательность также сходится и поточечно, но не наоборот. Для того, чтобы поточечный предел последовательности функций был равномерным, должен выполняться критерий Коши.

Понятие поточечной сходимости естественным образом переносится на функциональные семейства и функциональные ряды.

Пусть ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ — последовательность функций вида ${\displaystyle f_{n}\colon X\to \mathbb {R} }$ (${\displaystyle n=1,2,\dots }$) где ${\displaystyle X}$ — область определения, единая для всех функций семейства.

Зафиксируем точку ${\displaystyle x\in X}$ и рассмотрим числовую последовательность вида ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}_{n=1}^{\infty }}$.

---