формализм АДМ

Формализм ADM (названный в честь его авторов Ричарда Арноуитта , Стэнли Дезера и Чарльза У. Мизнера ) — это гамильтонова формулировка общей теории относительности , которая играет важную роль в канонической квантовой гравитации и численной теории относительности . Впервые он был опубликован в 1959 году. ^[2]

Всеобъемлющий обзор формализма, опубликованный авторами в 1962 году ^[3] , был перепечатан в журнале General Relativity and Gravitation ^[4] , а оригинальные статьи можно найти в архивах Physical Review . ^{[2] [5]}

Формализм предполагает, что пространство-время расслоено на семейство пространственноподобных поверхностей , помеченных их временной координатой , и с координатами на каждом срезе, заданными . В качестве динамических переменных этой теории приняты метрический тензор трехмерных пространственных срезов и сопряженные им импульсы . Используя эти переменные, можно определить гамильтониан и тем самым записать уравнения движения для общей теории относительности в форме уравнений Гамильтона .${\ Displaystyle \ Сигма _ {т}}$${\ Displaystyle т}$${\ Displaystyle х ^ {я}}$${\ Displaystyle \ гамма _ {ij} (т, х ^ {к})}$ ${\ Displaystyle \ пи ^ {ij} (т, х ^ {к})}$

Кроме двенадцати переменных и имеется четыре множителя Лагранжа : функция промежутка , и компоненты векторного поля сдвига , . Они описывают, как каждый из «листьев» слоения пространства-времени спаивается вместе. Уравнения движения для этих переменных можно задавать свободно; эта свобода соответствует свободе указывать, как размещать систему координат в пространстве и времени.${\ Displaystyle \ гамма _ {ij}}$${\ Displaystyle \ пи ^ {ij}}$${\ Displaystyle Н}$${\ Displaystyle N_ {я}}$${\ Displaystyle \ Сигма _ {т}}$

В большинстве ссылок используется нотация, в которой четырехмерные тензоры записываются в виде абстрактных индексов, и что греческие индексы - это индексы пространства-времени, принимающие значения (0, 1, 2, 3), а латинские индексы - это пространственные индексы, принимающие значения (1, 2, 3). В данном выводе верхний индекс (4) ставится перед величинами, которые обычно имеют как трехмерную, так и четырехмерную версию, например, метрический тензор для трехмерных срезов и метрический тензор для полного четырехмерного пространства-времени. .${\ displaystyle g_ {ij}}$${\ Displaystyle {^ {(4)}} г _ {\ му \ ню}}$

Ричард Арновитт , Стэнли Дезер и Чарльз Мизнер на конференции ADM-50: A Celebration of Current GR Innovation , состоявшейся в ноябре 2009 г. ^[1] в честь 50-летия их статьи.