В математике формула Абеля – Плана - это формула суммирования, открытая независимо Нильсом Хенриком Абелем ( 1823 г. ) и Джованни Антонио Амедео Плана ( 1820 г. ). В нем говорится, что
Это верно для функций f , голоморфных в области Re ( z ) ≥ 0 и удовлетворяющих подходящему условию роста в этой области; например, достаточно предположить, что | f | ограничена C / | z | 1 + ε в этой области для некоторых констант C , ε> 0, хотя формула верна и при гораздо более слабых оценках. ( Олвер 1997 , с. 290).
Примером может служить дзета-функция Гурвица :
которое выполняется для всех s ∈ ℂ , s ≠ 1 .
Абель также дал следующую вариацию для переменных сумм:
Позволять быть голоморфным на , такое что , и для , . Принимаяс теоремой о вычетах
потом
Используя интегральную теорему Коши для последнего., таким образом получая
Это тождество остается верным путем аналитического продолжения всюду, где сходится интеграл, позволяя получаем формулу Абеля-Планы
- .
Случай f (0) ≠ 0 получается аналогично с заменойдвумя интегралами, следующими по одним и тем же кривым с небольшим отступом слева и справа от 0 .