Акустическая теория - это научная область, которая связана с описанием звуковых волн . Это происходит из гидродинамики . См. Акустику для инженерного подхода.
Для звуковых волн любой величины возмущения скорости, давления и плотности мы имеем
В случае, если флуктуации скорости, плотности и давления малы, мы можем аппроксимировать их как
Где - возмущенная скорость жидкости, - это давление покоящейся жидкости, - это возмущенное давление системы как функция пространства и времени, - это плотность покоящейся жидкости, и - это дисперсия плотности жидкости. жидкость в пространстве и времени.
В случае, когда скорость является безвихревой ( ), мы имеем уравнение акустической волны, описывающее систему:
Где у нас есть
Вывод для покоящейся среды [ править ]
Начиная с уравнения непрерывности и уравнения Эйлера:
Если взять небольшие возмущения постоянного давления и плотности:
Тогда уравнения системы имеют вид
Учитывая, что равновесные давления и плотности постоянны, это упрощает до
Движущаяся среда [ править ]
Начиная с
Мы можем заставить эти уравнения работать для движущейся среды, установив , где - постоянная скорость, с которой движется вся жидкость до возмущения (эквивалентно движущемуся наблюдателю), а - скорость жидкости.
В этом случае уравнения выглядят очень похоже:
Обратите внимание, что настройка возвращает уравнения в состоянии покоя.
Линеаризованные волны [ править ]
Исходя из приведенных выше уравнений движения покоящейся среды:
Примем теперь ко всем малым количествам.
В случае, когда мы сохраняем члены первого порядка для уравнения неразрывности, у нас есть член, стремящийся к 0. Это аналогично относится к возмущению плотности, умноженному на производную скорости по времени. Более того, пространственные компоненты материальной производной стремятся к 0. Таким образом, после перестановки равновесной плотности мы имеем:
Далее, учитывая, что наша звуковая волна возникает в идеальной жидкости, движение является адиабатическим, и тогда мы можем связать небольшое изменение давления с небольшим изменением плотности следующим образом:
При этом условии мы видим, что теперь у нас есть
Определение скорости звука системы:
Все становится
Для безротационных жидкостей [ править ]
В случае, если жидкость является безвихревой, то есть мы можем записать и, таким образом, записать наши уравнения движения в виде
Второе уравнение говорит нам, что
И использование этого уравнения в уравнении неразрывности говорит нам, что
Это упрощает
Таким образом, потенциал скорости подчиняется волновому уравнению в пределе малых возмущений. Граничные условия, необходимые для определения потенциала, исходят из того факта, что скорость жидкости должна быть равна 0 перпендикулярно неподвижным поверхностям системы.
Взяв производную по времени от этого волнового уравнения и умножив все стороны на невозмущенную плотность, а затем используя тот факт, который говорит нам, что
Точно так же мы это видели . Таким образом, мы можем соответствующим образом перемножить приведенное выше уравнение и увидеть, что
Таким образом, потенциал скорости, давление и плотность подчиняются волновому уравнению. Более того, нам нужно решить только одно такое уравнение, чтобы определить все остальные три. В частности, у нас есть
Для движущейся среды [ править ]
Опять же, мы можем вывести предел малых возмущений для звуковых волн в движущейся среде. Опять же, начиная с
Мы можем линеаризовать их в
Для безвихревых жидкостей в движущейся среде [ править ]
Учитывая, что мы видели, что
Если мы сделаем предыдущие предположения об идеальности жидкости и безвихревой скорости, то мы имеем
При этих предположениях наши линеаризованные уравнения звука становятся
Важно отметить, что поскольку - константа, то второе уравнение говорит нам, что
Или просто
Теперь, когда мы используем это отношение с учетом того факта, что наряду с сокращением и перестановкой терминов, мы приходим к
Мы можем записать это в знакомой форме как
Это дифференциальное уравнение необходимо решить с соответствующими граничными условиями. Обратите внимание, что настройка возвращает нам волновое уравнение. В любом случае, решив это уравнение для движущейся среды, мы имеем