Адаптивный фильтр

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Февраль 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Адаптивный фильтр представляет собой систему с линейным фильтром , который имеет функцию передачи , управляемую переменными параметрами и средство для настройки этих параметров в соответствии с алгоритмом оптимизации . Из-за сложности алгоритмов оптимизации почти все адаптивные фильтры являются цифровыми фильтрами . Адаптивные фильтры требуются для некоторых приложений, потому что некоторые параметры желаемой операции обработки (например, положения отражающих поверхностей в реверберирующем пространстве) заранее неизвестны или изменяются. Адаптивный фильтр с обратной связью использует обратную связь в виде сигнала ошибки для уточнения своей передаточной функции.

Вообще говоря, адаптивный процесс с обратной связью включает использование функции стоимости , которая является критерием оптимальной производительности фильтра, для подачи в алгоритм, который определяет, как изменить передаточную функцию фильтра, чтобы минимизировать затраты на следующей итерации. Наиболее распространенная функция стоимости - это средний квадрат сигнала ошибки.

По мере того, как мощность цифровых сигнальных процессоров возросла, адаптивные фильтры стали гораздо более распространенными и теперь обычно используются в таких устройствах, как мобильные телефоны и другие устройства связи, видеокамеры и цифровые камеры, а также оборудование для медицинского наблюдения.

Пример приложения [ править ]

Запись сердечного ритма ( ЭКГ ) может быть искажена шумом от сети переменного тока . Точная частота мощности и ее гармоник могут время от времени изменяться.

Одним из способов устранения шума является фильтрация сигнала режекторным фильтром на частоте сети и в ее окрестностях, но это может чрезмерно ухудшить качество ЭКГ, поскольку сердцебиение, вероятно, также будет иметь частотные компоненты в отклоняемом диапазоне.

Чтобы избежать этой потенциальной потери информации, можно использовать адаптивный фильтр. Адаптивный фильтр будет принимать входные данные как от пациента, так и от сети и, таким образом, сможет отслеживать фактическую частоту шума при ее колебаниях и вычитать шум из записи. Такой адаптивный метод обычно позволяет использовать фильтр с меньшим диапазоном отклонения, что в данном случае означает, что качество выходного сигнала более точное для медицинских целей. ^{[1] [2]}

Блок-схема [ править ]

Идея адаптивного фильтра с обратной связью заключается в том, что переменный фильтр регулируется до минимума ошибки (разницы между выходным сигналом фильтра и желаемым сигналом). Наименьших средних квадратов (LMS) фильтра и рекурсивных наименьших квадратов фильтр (RLS) являются типами адаптивного фильтра.

Адаптивный фильтр. k = номер выборки, x = эталонный ввод, X = набор последних значений x, d = желаемый ввод, W = набор коэффициентов фильтра, ε = вывод ошибок, f = импульсная характеристика фильтра, * = свертка, Σ = суммирование, верхний прямоугольник = линейный фильтр, нижний прямоугольник = алгоритм адаптации

Адаптивный фильтр, компактное представление. k = номер выборки, x = эталонный вход, d = желаемый вход, ε = выход ошибки, f = импульсная характеристика фильтра, Σ = суммирование, прямоугольник = линейный фильтр и алгоритм адаптации.

У адаптивного фильтра есть два входных сигнала: и, которые иногда называют первичным входом и эталонным входом соответственно. ^[3] Попытки Алгоритм адаптации для фильтрации вход задания в копию нужного входа путем сведения к минимуму остаточного сигнала, . Когда адаптация успешна, выходной сигнал фильтра фактически является оценкой полезного сигнала.${\ displaystyle d_ {k}}$${\ displaystyle x_ {k}}$${\ displaystyle \ epsilon _ {k}}$${\ displaystyle y_ {k}}$

${\ displaystyle d_ {k}}$ который включает полезный сигнал плюс нежелательные помехи и

${\ displaystyle x_ {k}}$который включает в себя сигналы, которые коррелируют с некоторыми нежелательными помехами в .${\ displaystyle d_ {k}}$

k представляет собой дискретный номер образца.

Фильтр управляется набором L + 1 коэффициентов или весов.

${\ displaystyle \ mathbf {W} _ {k} = \ left [w_ {0k}, \, w_ {1k}, \, ..., \, w_ {Lk} \ right] ^ {T}}$ представляет набор или вектор весов, которые управляют фильтром во время выборки k.

где относится к k-му весу в k-й раз.${\ displaystyle w_ {lk}}$${\ displaystyle l}$

${\ displaystyle \ mathbf {\ Delta W} _ {k}}$ представляет изменение весов, которое происходит в результате корректировок, вычисленных во время выборки k.

Эти изменения будут применены после времени выборки k и до того, как они будут использованы во время выборки k + 1.

Выход обычно, но это могут быть или даже могут быть коэффициенты фильтра. ^[4] (Уидроу)${\ displaystyle \ epsilon _ {k}}$${\ displaystyle y_ {k}}$

Входные сигналы определяются следующим образом:

${\ displaystyle d_ {k} = g_ {k} + u_ {k} + v_ {k}}$

${\displaystyle x_{k}=g_{k}^{'}+u_{k}^{'}+v_{k}^{'}}$

куда:

g = желаемый сигнал,

g ' = сигнал, который коррелирует с полезным сигналом g ,

u = нежелательный сигнал, который добавляется к g , но не коррелирует с g или g '

u ' = сигнал, который коррелирует с нежелательным сигналом u , но не коррелирует с g или g ' ,

v = нежелательный сигнал (обычно случайный шум), не коррелированный с g , g ' , u , u ' или v ' ,

v ' = нежелательный сигнал (обычно случайный шум), не коррелированный с g , g ' , u , u ' или v .

Выходные сигналы определяются следующим образом:

${\displaystyle y_{k}={\hat {g}}_{k}+{\hat {u}}_{k}+{\hat {v}}_{k}}$

${\displaystyle \epsilon _{k}=d_{k}-y_{k}}$.

куда:

${\displaystyle {\hat {g}}}$= выход фильтра, если вход был только g ' ,

${\displaystyle {\hat {u}}}$= выход фильтра, если вход был только u ' ,

${\displaystyle {\hat {v}}}$= выход фильтра, если вход был только v ' .

КИХ-фильтр на линии задержки с отводом [ править ]

Если переменный фильтр имеет структуру конечной импульсной характеристики (FIR) с линией задержки с отводом , то импульсная характеристика равна коэффициентам фильтра. Выходной сигнал фильтра определяется выражением

${\displaystyle y_{k}=\sum _{l=0}^{L}w_{lk}\ x_{(k-l)}={\hat {g}}_{k}+{\hat {u}}_{k}+{\hat {v}}_{k}}$

где относится к k-му весу в k-й раз.${\displaystyle w_{lk}}$${\displaystyle l}$

Идеальный случай [ править ]

В идеальном случае . Все нежелательные сигналы представлены значком . полностью состоит из сигнала, коррелированного с нежелательным сигналом в .${\displaystyle v\equiv 0,v'\equiv 0,g'\equiv 0}$${\displaystyle d_{k}}$${\displaystyle u_{k}}$${\displaystyle \ x_{k}}$${\displaystyle u_{k}}$

Выход переменного фильтра в идеальном случае

${\displaystyle y_{k}={\hat {u}}_{k}}$ .

Сигнал ошибки или функция стоимости - это разница между и${\displaystyle d_{k}}$${\displaystyle y_{k}}$

${\displaystyle \epsilon _{k}=d_{k}-y_{k}=g_{k}+u_{k}-{\hat {u}}_{k}}$. Полезный сигнал g _k проходит без изменения.

Сигнал ошибки минимизируется в среднеквадратическом смысле, когда минимизируется. Другими словами, это наилучшая среднеквадратическая оценка . В идеальном случае, и , и все, что остается после вычитания, - это неизмененный полезный сигнал с удалением всех нежелательных сигналов.${\displaystyle \epsilon _{k}}$${\displaystyle [u_{k}-{\hat {u}}_{k}]}$${\displaystyle {\hat {u}}_{k}}$${\displaystyle u_{k}}$${\displaystyle u_{k}={\hat {u}}_{k}}$${\displaystyle \epsilon _{k}=g_{k}}$${\displaystyle g}$

Компоненты сигнала в опорном входе [ править ]

В некоторых ситуациях опорный вход включает в себя компоненты полезного сигнала. Это означает, что g '≠ 0.${\displaystyle x_{k}}$

Полное подавление нежелательных помех в этом случае невозможно, но возможно улучшение отношения сигнал / помеха. Выход будет

${\displaystyle \epsilon _{k}=d_{k}-y_{k}=g_{k}-{\hat {g}}_{k}+u_{k}-{\hat {u}}_{k}}$. Желаемый сигнал будет изменен (обычно уменьшен).

Отношение выходного сигнала к помехе имеет простую формулу, называемую инверсией мощности .

${\displaystyle \rho _{\mathsf {out}}(z)={\frac {1}{\rho _{\mathsf {ref}}(z)}}}$.

куда

${\displaystyle \rho _{\mathsf {out}}(z)\ }$ = отношение выходного сигнала к помехе.

${\displaystyle \rho _{\mathsf {ref}}(z)\ }$ = Опорный сигнал к помехе.

${\displaystyle z\ }$ = частота в z-области.

Эта формула означает , что выходной сигнал к помехе на определенной частоте является обратной величиной опорного сигнала к помехе. ^[5]

Пример. В ресторане быстрого питания есть подъездное окно. Прежде чем подойти к окну, покупатель оформляет заказ, говоря в микрофон. Микрофон также улавливает шум двигателя и окружающей среды. Этот микрофон обеспечивает основной сигнал. Мощность сигнала от голоса клиента и мощность шума от двигателя равны. Работникам ресторана сложно понять клиента. Чтобы уменьшить количество помех в основном микрофоне, второй микрофон расположен там, где он предназначен для улавливания звуков двигателя. Он также улавливает голос клиента. Этот микрофон является источником опорного сигнала. В этом случае шум двигателя в 50 раз сильнее голоса клиента. Как только отменяющий сойдет,отношение первичного сигнала к помехе будет улучшено с 1: 1 до 50: 1.

Адаптивный линейный комбайнер [ править ]

Адаптивный линейный комбайнер, показывающий комбайнер и процесс адаптации. k = номер выборки, n = индекс входной переменной, x = эталонные входы, d = желаемый вход, W = набор коэффициентов фильтра, ε = вывод ошибок, Σ = суммирование, верхний прямоугольник = линейный сумматор, нижний прямоугольник = алгоритм адаптации.

Адаптивный линейный комбайнер, компактное представление. k = номер выборки, n = индекс входной переменной, x = эталонные входы, d = желаемый вход, ε = выход ошибки, Σ = суммирование.

Адаптивный линейный сумматор (ALC) напоминает FIR-фильтр с адаптивной линией задержки с ответвлениями, за исключением того, что между значениями X нет предполагаемой взаимосвязи. Если бы значения X были из выходов линии задержки с ответвлениями, то комбинация линии задержки с ответвлениями и ALC составила бы адаптивный фильтр. Однако значения X могут быть значениями массива пикселей. Или они могут быть выходами нескольких линий задержки с ответвлениями. ALC находит применение в качестве адаптивного формирователя луча для решеток гидрофонов или антенн.

${\displaystyle y_{k}=\sum _{l=0}^{L}w_{lk}\ x_{lk}=\mathbf {W} _{k}^{T}\mathbf {x} _{k}}$

где относится к k-му весу в k-й раз.${\displaystyle w_{lk}}$${\displaystyle l}$

Алгоритм LMS [ править ]

Если переменный фильтр имеет структуру FIR с отводной линией задержки, то алгоритм обновления LMS особенно прост. Обычно после каждой выборки коэффициенты КИХ-фильтра регулируются следующим образом: ^[6] (Уидроу)

за ${\displaystyle l=0\dots L}$

${\displaystyle w_{l,k+1}=w_{lk}+2\mu \ \epsilon _{k}\ x_{k-l}}$

μ называется фактором сходимости .

Алгоритм LMS не требует, чтобы значения X имели какое-либо конкретное отношение; поэтому его можно использовать для адаптации линейного сумматора, а также КИХ-фильтра. В этом случае формула обновления записывается как:

${\displaystyle w_{l,k+1}=w_{lk}+2\mu \ \epsilon _{k}\ x_{lk}}$

Эффект алгоритма LMS заключается в том, что каждый раз k вносит небольшое изменение в каждый вес. Направление изменения таково, что оно уменьшило бы ошибку, если бы оно было применено в момент времени k. Величина изменения каждого веса зависит от μ, соответствующего значения X и ошибки в момент времени k. Веса, вносящие наибольший вклад в выпуск, изменяются больше всего. Если ошибка равна нулю, значит, веса не должны изменяться. Если связанное значение X равно нулю, то изменение веса не имеет значения, поэтому оно не изменяется.${\displaystyle y_{k}}$

Конвергенция [ править ]

μ контролирует, насколько быстро и насколько алгоритм сходится к оптимальным коэффициентам фильтра. Если μ слишком велико, алгоритм не сойдется. Если μ слишком мало, алгоритм сходится медленно и может быть не в состоянии отслеживать изменяющиеся условия. Если μ велико, но не слишком велико, чтобы предотвратить сходимость, алгоритм быстро достигает установившегося состояния, но постоянно выходит за пределы оптимального вектора веса. Иногда μ сначала делают большим для быстрой сходимости, а затем уменьшают, чтобы минимизировать выбросы.

В 1985 году Уидроу и Стернс заявили, что им неизвестно доказательство того, что алгоритм LMS будет сходиться во всех случаях. ^[7]

Однако при определенных предположениях о стационарности и независимости можно показать, что алгоритм сходится, если

${\displaystyle 0<\mu <{\frac {1}{\sigma ^{2}}}}$

куда

${\displaystyle \sigma ^{2}=\sum _{l=0}^{L}\sigma _{l}^{2}}$ = сумма всей входной мощности

${\displaystyle \sigma _{l}}$это среднеквадратичное значение '-го входа${\displaystyle l}$

В случае фильтра линии задержки с отводом каждый вход имеет одинаковое среднеквадратичное значение, потому что это просто одни и те же значения задержки. В этом случае общая мощность

${\displaystyle \sigma ^{2}=(L+1)\sigma _{0}^{2}}$

куда

${\displaystyle \sigma _{0}}$- среднеквадратичное значение входного потока. ^[7]${\displaystyle x_{k}}$

Это приводит к нормализованному алгоритму LMS:

${\displaystyle w_{l,k+1}=w_{lk}+\left({\frac {2\mu _{\sigma }}{\sigma ^{2}}}\right)\epsilon _{k}\ x_{k-l}}$в этом случае критерии сходимости становится: .${\displaystyle 0<\mu _{\sigma }<1}$

Нелинейные адаптивные фильтры [ править ]

Цель нелинейных фильтров - преодолеть ограничения линейных моделей. Существует несколько часто используемых подходов: Volterra LMS, адаптивный фильтр ядра, адаптивный фильтр Spline ^[8] и адаптивный фильтр Урысона. ^{[9] [10]} Многие авторы ^[11] включают в этот список и нейронные сети. Общая идея Volterra LMS и Kernel LMS заключается в замене выборок данных различными нелинейными алгебраическими выражениями. Для Volterra LMS это выражение - серия Volterra . В Spline Adaptive Filter модель представляет собой каскад линейного динамического блока и статической нелинейности, который аппроксимируется сплайнами. В адаптивном фильтре Урысона линейные члены в модели

${\displaystyle y_{i}=\sum _{j=0}^{m}w_{j}\ x_{ij}}$

заменяются кусочно-линейными функциями

${\displaystyle y_{i}=\sum _{j=0}^{m}f_{j}(x_{ij})}$

которые идентифицируются из выборок данных.

Применение адаптивных фильтров [ править ]

• Шумоподавление
• Предсказание сигнала
• Адаптивное отключение обратной связи
• Эхоподавление

Реализации фильтров [ править ]

• Фильтр наименьших средних квадратов
• Рекурсивный фильтр наименьших квадратов
• Адаптивный фильтр в частотной области с блоком с несколькими задержками

См. Также [ править ]

• 2D адаптивные фильтры
• Фильтр (обработка сигнала)
• Фильтр Калмана
• Адаптивный фильтр ядра
• Линейное предсказание
• Оценщик MMSE
• Фильтр Винера
• Уравнение Винера-Хопфа

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Хейс, Монсон Х. (1996). Статистическая обработка и моделирование цифровых сигналов . Вайли. ISBN 978-0-471-59431-4.
• Хайкин, Саймон (2002). Теория адаптивного фильтра . Прентис Холл. ISBN 978-0-13-048434-5.
• Видроу, Бернард; Стернс, Сэмюэл Д. (1985). Адаптивная обработка сигналов . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-004029-9.