Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлено из Настройки наблюдений )
Перейти к навигации Перейти к поиску

Уравнивания по методу наименьших квадратов является моделью для решения одной переопределенной системы уравнений , основанных на принципе наименьших квадратов из остатков наблюдений . Он широко используется в таких дисциплинах, как геодезия , геодезия и фотограмметрия, то есть в области геоматики в совокупности.

Формулировка [ править ]

Существует три формы корректировки методом наименьших квадратов: параметрическая , условная и комбинированная . При параметрической настройке можно найти уравнение наблюдения h (X) = Y, связывающее наблюдения Y явно через параметры X (что приводит к A-модели ниже). При условной настройке существует уравнение состояния, которое имеет вид g (Y) = 0, включающее только наблюдения Y (что приводит к B-модели ниже) - без параметров X вообще. Наконец, при комбинированном уравнивании оба параметра X и наблюдения Yнеявно участвуют в уравнении смешанной модели f (X, Y) = 0 . Ясно, что параметрическая и условная корректировки соответствуют более общему комбинированному случаю, когда f (X, Y) = h (X) -Y и f (X, Y) = g (Y) , соответственно. Тем не менее, особые случаи требуют более простых решений, как подробно описано ниже. Часто в литературе, Y может обозначать л .

Решение [ править ]

Равенства выше только справедливы для оценки параметров и наблюдений , таким образом . Напротив, измеренные наблюдения и приблизительные параметры дают ненулевую ошибку :

Можно перейти к разложению уравнений в ряд Тейлора , в результате чего получаются якобианы или матрицы проектирования : первый,

и второй,

Затем линеаризованная модель гласит:

где - оценочные поправки параметров к априорным значениям и - остатки наблюдений после подгонки .

При параметрической настройке вторая матрица проекта является тождеством, B = -I , а вектор неправильного замыкания можно интерпретировать как остатки предварительной подгонки , поэтому система упрощается до:

который находится в форме обычных наименьших квадратов . При условной корректировке первая матрица плана равна нулю, A = 0 . Для более общих случаев вводятся множители Лагранжа , чтобы связать две матрицы Якоби и преобразовать ограниченную задачу наименьших квадратов в неограниченную (хотя и более крупную). В любом случае, их манипуляция приводит к и векторы, а также соответствующие параметры и наблюдения апостериорной ковариационной матрицы.

Вычисление [ править ]

Учитывая указанные выше матрицы и векторы, их решение находится с помощью стандартных методов наименьших квадратов; например, формирование нормальной матрицы и применение разложения Холецкого , применение QR-факторизации непосредственно к матрице Якоби, итерационные методы для очень больших систем и т. д.

Отработанные примеры [ править ]

Приложения [ править ]

Понятия, связанные с данным [ править ]

  • Параметрическая корректировка аналогична большей части регрессионного анализа и совпадает с моделью Гаусса – Маркова.
  • Комбинированная регулировка, также известная как модель Гаусса-Helmert , [1] [2] (названный в честь немецких математиков / геодезистов Гаусс и FR Гельмерта ) связана с моделями ошибок, в-переменных [3]
  • Использование ковариационной матрицы априорных параметров сродни тихоновской регуляризации.

Расширения [ править ]

Если встречается дефицит ранга , его часто можно исправить путем включения дополнительных уравнений, налагающих ограничения на параметры и / или наблюдения, что приводит к ограниченным наименьшим квадратам .

Ссылки [ править ]

  1. ^ "Модель Гаусса-Гельмерта" в: Самуэль Коц; Н. Балакришнан; Кэмпбелл Рид Брани Видакович (2006), Энциклопедия статистических наук , Wiley. DOI: 10.1002 / 0471667196.ess0854
  2. ^ Дж. Котрен (2005), "Надежность в ограниченных моделях Гаусса-Маркова", Отчет № 473. Департамент гражданской и экологической инженерии и геодезии. Государственный университет Огайо. [1] , уравнение (2.31), стр.8
  3. ^ Сноу, Кайл, Темы по корректировке методом полного наименьшего квадрата в модели ошибок в переменных: матрицы сингулярных кофакторов и априорная информация [pdf], vii + 90 pp, декабрь 2012 г. [2]

Библиография [ править ]

Конспекты лекций и технические отчеты
  • Нико Сниув и Фридхельм Крам, «Теория адаптации» , Геодезический институт, Университет Штутгарта , 2014 г.
  • Краковский, «Синтез последних достижений в методе наименьших квадратов» , Конспект лекции № 42, Департамент геодезии и геоматики, Университет Нью-Брансуика , 1975 г.
  • Кросс, Пенсильвания « Применение метода наименьших квадратов для определения местоположения» , Университет Восточного Лондона , Школа геодезии, Рабочий документ № 6, ISSN  0260-9142 , январь 1994 г. Первое издание, апрель 1983 г., перепечатано с исправлениями, январь 1990 г. (оригинал Рабочие документы, Политехнический институт Северо-Востока Лондона , Отдел геодезии, 205 стр., 1983 г.)
  • Сноу, Кайл Б., Применение оценки параметров и проверки гипотез для настройки сети GPS , Отдел геодезических наук, Университет штата Огайо , 2002 г.
Книги и главы
  • Рейно Антеро Хирвонен , "Уравнивание методом наименьших квадратов в геодезии и фотограмметрии", Ангар, Нью-Йорк. 261 с., ISBN 0804443971 , ISBN 978-0804443975 , 1971.  
  • Эдвард М. Михаил, Фридрих Э. Акерманн, "Наблюдения и метод наименьших квадратов", University Press of America, 1982
  • Вольф, Пол Р. (1995). «Корректировка измерений обзора по методу наименьших квадратов». Справочник геодезистов . С. 383–413. DOI : 10.1007 / 978-1-4615-2067-2_16 .
  • Петер Ваничек и Э. Я. Краковский, «Геодезия: концепции». Амстердам: Эльзевир. (третье изд.): ISBN 0-444-87777-0 , ISBN 978-0-444-87777-2 ; глава 12, "Решение переопределенных моделей методом наименьших квадратов", стр. 202–213, 1986.  
  • Гилберт Странг и Кай Борре, «Линейная алгебра, геодезия и GPS», SIAM, 624 страницы, 1997.
  • Пол Вольф и Бон ДеВитт, "Элементы фотограмметрии с приложениями в ГИС", McGraw-Hill, 2000
  • Карл-Рудольф Кох, "Оценка параметров и проверка гипотез в линейных моделях", 2-е изд., Springer, 2000
  • PJG Teunissen, "Теория настройки, введение", Delft Academic Press, 2000
  • Эдвард М. Михаил, Джеймс С. Бетел, Дж. Крис МакГлоун, «Введение в современную фотограмметрию», Wiley, 2001
  • Харви, Брюс Р., «Практические методы наименьших квадратов и статистика для геодезистов», Монография 13, третье издание, Школа геодезических и пространственных информационных систем, Университет Нового Южного Уэльса, 2006 г.
  • Хуаан Фань, «Теория ошибок и корректировки методом наименьших квадратов», Королевский технологический институт (KTH), Отдел геодезии и геоинформатики, Стокгольм, Швеция, 2010 г., ISBN 91-7170-200-8 . 
  • Gielsdorf, F .; Хиллманн, Т. (2011). «Математика и статистика». Справочник Springer по географической информации . п. 7. DOI : 10.1007 / 978-3-540-72680-7_2 . ISBN 978-3-540-72678-4.
  • Чарльз Д. Гилани, «Вычисления корректировки: анализ пространственных данных», John Wiley & Sons, 2011 г.
  • Чарльз Д. Гилани и Пол Р. Вольф, «Элементарная геодезия: введение в геоматику», 13-е издание, Прентис-Холл, 2011 г.
  • Эрик Графаранд и Джозеф Аванж, «Применение линейных и нелинейных моделей: фиксированные эффекты, случайные эффекты и общие наименьшие квадраты», Springer, 2012 г.
  • Альфред Лейк, Лев Рапопорт и Дмитрий Татарников, «Спутниковая съемка GPS», 4-е издание, John Wiley & Sons, ISBN 9781119018612 ; Глава 2, «Корректировка методом наименьших квадратов», стр. 11–79, doi: 10.1002 / 9781119018612.ch2 
  • А. Фотиу (2018) «Обсуждение корректировки методом наименьших квадратов с рабочими примерами» В: Фотиу А., Россикопулос Д., ред. (2018): «Quod erat manifestrandum. В поисках окончательной геодезической информации ». Специальный выпуск для заслуженного профессора Афанасиоса Дерманиса. Публикация Школы сельского и геодезического строительства Университета Аристотеля в Салониках, 405 страниц. ISBN 978-960-89704-4-1 [3] 
  • Джон Олусегун Огундаре (2018), «Понимание оценки методом наименьших квадратов и анализа геоматических данных», John Wiley & Sons, 720 страниц, ISBN 9781119501404 .