Матрица дизайна

В статистике и , в частности , в регрессионном анализе , дизайн матрица , известная также как модель матрицы или регрессора матрицы и часто обозначается X , является матрица значений объясняющих переменных из множества объектов. Каждая строка представляет отдельный объект, а следующие друг за другом столбцы соответствуют переменным и их конкретным значениям для этого объекта. Матрица плана используется в некоторых статистических моделях , например, в общей линейной модели . ^{[1] [2] [3]} Может содержать индикаторные переменные.(единицы и нули), которые указывают на принадлежность к группе в ANOVA , или могут содержать значения непрерывных переменных .

Матрица дизайна содержит данные о независимых переменных (также называемых объясняющими переменными) в статистических моделях, которые пытаются объяснить наблюдаемые данные о переменной отклика (часто называемой зависимой переменной ) в терминах независимых переменных. Теория, относящаяся к таким моделям, в значительной степени использует матричные манипуляции с использованием матрицы плана: см., Например, линейную регрессию . Примечательной особенностью концепции матрицы плана является то, что она способна представлять ряд различных экспериментальных планов и статистических моделей, например ANOVA , ANCOVA и линейную регрессию. ^{[ необходима цитата ]}

Определение [ править ]

Матрица проекта определяется как такая матрица , что ( j- ^й столбец i- ^й строки ) представляет значение j- ^й переменной, связанной с i- ^м объектом.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X_ {ij}}$${\ displaystyle X}$

Таким образом, регрессионная модель, которая представляет собой линейную комбинацию независимых переменных, может быть представлена ​​посредством умножения матриц как

${\ Displaystyle у = Х \ бета,}$

где X - матрица плана, - вектор коэффициентов модели (по одному для каждой переменной), а y - вектор прогнозируемых выходных данных для каждого объекта.${\ displaystyle \ beta}$

Размер [ править ]

Матрица из данных имеет размерность п матрицы с размерностью р , где п есть число выборок , наблюдаемых, и р представляет собой число переменных ( характеристики ) , измеренных во всех образцах. ^{[4] [5]}

В этом представлении разные строки обычно представляют разные повторы эксперимента, а столбцы представляют разные типы данных (например, результаты определенных зондов). Например, предположим, что проводится эксперимент, в котором 10 человек вытаскивают с улицы и задают четыре вопроса. Матрица данных M будет матрицей 10 × 4 (что означает 10 строк и 4 столбца). Данные в строке i и столбце j этой матрицы будут ответом i- ^го человека на j- ^й вопрос.

Примеры [ править ]

Среднее арифметическое [ править ]

Матрица плана для среднего арифметического представляет собой вектор- столбец единиц .

Простая линейная регрессия [ править ]

В этом разделе приводится пример простой линейной регрессии - то есть регрессии только с одной независимой переменной - с семью наблюдениями. Семь точек данных: { y _i , x _i } для i  = 1, 2,…, 7. Простая модель линейной регрессии

${\ displaystyle y_ {i} = \ beta _ {0} + \ beta _ {1} x_ {i} + \ varepsilon _ {i}, \,}$

где - отрезок оси y, а - наклон линии регрессии. Эта модель может быть представлена ​​в матричной форме как${\displaystyle \beta _{0}}$${\displaystyle \beta _{1}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\y_{4}\\y_{5}\\y_{6}\\y_{7}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&x_{1}\\1&x_{2}\\1&x_{3}\\1&x_{4}\\1&x_{5}\\1&x_{6}\\1&x_{7}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\\\varepsilon _{7}\end{bmatrix}}}$

где первый столбец единиц в матрице плана позволяет оценить перехват y, в то время как второй столбец содержит значения x, связанные с соответствующими значениями y .

Множественная регрессия [ править ]

В этом разделе содержится пример множественной регрессии с двумя ковариатами ( независимыми переменными): w и x . Снова предположим, что данные состоят из семи наблюдений, и что для каждого наблюдаемого значения, которое должно быть предсказано ( ), также наблюдаются значения w _i и x _i двух ковариат. Рассматриваемая модель${\displaystyle y_{i}}$

${\displaystyle y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}w_{i}+\beta _{2}x_{i}+\varepsilon _{i}}$

Эта модель может быть записана в матричных терминах как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\y_{4}\\y_{5}\\y_{6}\\y_{7}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&w_{1}&x_{1}\\1&w_{2}&x_{2}\\1&w_{3}&x_{3}\\1&w_{4}&x_{4}\\1&w_{5}&x_{5}\\1&w_{6}&x_{6}\\1&w_{7}&x_{7}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\beta _{0}\\\beta _{1}\\\beta _{2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\\\varepsilon _{7}\end{bmatrix}}}$

Здесь матрица 7 × 3 с правой стороны - это матрица плана.

Односторонний дисперсионный анализ (ячейка означает модель) [ править ]

В этом разделе содержится пример одностороннего дисперсионного анализа ( ANOVA ) с тремя группами и семью наблюдениями. Данный набор данных содержит первые три наблюдения, принадлежащие к первой группе, следующие два наблюдения, принадлежащие ко второй группе, и последние два наблюдения, принадлежащие к третьей группе. Если модель, которую нужно подобрать, - это просто среднее значение каждой группы, то модель

${\displaystyle y_{ij}=\mu _{i}+\varepsilon _{ij}}$

что можно написать

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\y_{4}\\y_{5}\\y_{6}\\y_{7}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\1&0&0\\1&0&0\\0&1&0\\0&1&0\\0&0&1\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mu _{1}\\\mu _{2}\\\mu _{3}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\\\varepsilon _{7}\end{bmatrix}}}$

В этой модели представлено среднее значение по- й группе.${\displaystyle \mu _{i}}$${\displaystyle i}$

Односторонний дисперсионный анализ (смещение от контрольной группы) [ править ]

Модель ANOVA может быть эквивалентно записана как каждый параметр группы, являющийся смещением от некоторой общей ссылки. Обычно за эту точку отсчета берется одна из рассматриваемых групп. Это имеет смысл в контексте сравнения нескольких групп лечения с контрольной группой, и контрольная группа считается «эталонной». В этом примере группа 1 была выбрана в качестве контрольной группы. Таким образом, подходящая модель${\displaystyle \tau _{i}}$

${\displaystyle y_{ij}=\mu +\tau _{i}+\varepsilon _{ij}}$

с нулевым ограничением .${\displaystyle \tau _{1}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\y_{4}\\y_{5}\\y_{6}\\y_{7}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\1&0&0\\1&0&0\\1&1&0\\1&1&0\\1&0&1\\1&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mu \\\tau _{2}\\\tau _{3}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\\\varepsilon _{7}\end{bmatrix}}}$

В этой модели это среднее значение контрольной группы и разница между группой и контрольной группой. не включается в матрицу, потому что его отличие от контрольной группы (самой себя) обязательно равно нулю.${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \tau _{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \tau _{1}}$

См. Также [ править ]

• Матрица данных
• Матрица моментов
• Матрица проекции
• Матрица Якоби и определитель
• Матрица разброса
• Матрица Грама
• Матрица Вандермонда

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Verbeek, Альберт (1984). «Геометрия выбора модели в регрессии». В Dijkstra, Тео К. (ред.). Анализ неправильной спецификации . Нью-Йорк: Спрингер. С. 20–36. ISBN 0-387-13893-5.