В математике аффинная группа или общая аффинная группа любого аффинного пространства — это группа всех обратимых аффинных преобразований пространства в себя. В случае евклидова пространства (где ассоциированное поле скаляров представляет собой действительные числа ) аффинная группа состоит из тех функций из пространства в себя, что образ каждой строки является линией.
В любом поле аффинную группу можно естественным образом рассматривать как матричную группу. Если связанное поле скаляров является действительным или комплексным полем, то аффинная группа является группой Ли .
Конкретно, учитывая векторное пространство V , оно имеет базовое аффинное пространство A , полученное путем «забывания» начала координат, при этом V действует посредством сдвигов, а аффинная группа A может быть конкретно описана как полупрямое произведение V на GL( V ). , общая линейная группа V :
Действие GL( V ) на V является естественным (линейные преобразования являются автоморфизмами), поэтому оно определяет полупрямое произведение .
Учитывая аффинную группу аффинного пространства A , стабилизатор точки p изоморфен полной линейной группе той же размерности (поэтому стабилизатор точки в Aff(2, R ) изоморфен GL(2, R ) ); формально это общая линейная группа векторного пространства ( A , p ) : напомним, что если фиксировать точку, аффинное пространство становится векторным пространством.
Все эти подгруппы сопряжены, причем сопряжение задается переводом от p к q (что определяется однозначно), однако ни одна конкретная подгруппа не является естественным выбором, поскольку ни одна точка не является специальной - это соответствует множественному выбору трансверсальной подгруппы, или расщепление короткой точной последовательности