Дзета-функция Эйри

В математике , то дзета - функция Эйри , изучены Crandall (1996) , является функция аналогична дзета функции Римана и связанные с нулями функции Эйри .

Определение [ править ]

Функции Эйри Ai и Bi

Функция Эйри

${\ displaystyle \ mathrm {Ai} (x) = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} \ cos \ left ({\ tfrac {1} {3}} т ^ {3} + xt \ right) \, dt,}$

положительна для положительного x , но колеблется при отрицательных значениях x . Нули Эйри являются значения , при которых , заказанные за счет увеличения величины: .${\ Displaystyle \ {а_ {я} \} _ {я = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle {\ text {Ai}} (a_ {i}) = 0}$${\ Displaystyle | а_ {1} | <| а_ {2} | <\ cdots}$

Дзета-функция Эйри - это функция, определяемая из этой последовательности нулей рядом

${\ displaystyle \ zeta _ {\ mathrm {Ai}} (s) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {| a_ {i} | ^ {s}}}. }$

Этот ряд сходится , когда действительная часть из й больше , чем 3/2, и может быть продлена аналитическим продолжением других значений х .

Оценка в целых числах [ править ]

Как и дзета-функция Римана, значение которой является решением проблемы Базеля , дзета-функция Эйри может быть точно вычислена при s  = 2:${\ Displaystyle \ zeta (2) = \ pi ^ {2} / 6}$

${\ displaystyle \ zeta _ {\ mathrm {Ai}} (2) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {a_ {i} ^ {2}}} = {\ гидроразрыв {3 ^ {5/3} \ Gamma ^ {4} ({\ frac {2} {3}})} {4 \ pi ^ {2}}},}$

где - гамма-функция , непрерывный вариант факториала . Подобные оценки также возможны для больших целочисленных значений s .${\ displaystyle \ Gamma}$

Предполагается, что аналитическое продолжение дзета-функции Эйри дает оценку от 1 до

${\ displaystyle \ zeta _ {\ mathrm {Ai}} (1) = {\ frac {-3 ^ {- 2/3} \ Gamma ({\ frac {2} {3}})} {\ Gamma ({ \ frac {4} {3}})}}.}$

Ссылки [ править ]

• Крэндалл, Ричард Э. (1996), «О квантовой дзета-функции», Journal of Physics A: Mathematical and General , 29 (21): 6795–6816, Bibcode : 1996JPhA ... 29.6795C , doi : 10.1088 / 0305- 4470/29/21/014 , ISSN  0305-4470 , MR  1421901

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Дзета-функция Эйри" . MathWorld .