Алгебраически компактный модуль
В математике алгебраически компактные модули , также называемые чисто-инъективными модулями , представляют собой модули , которые обладают определенным «хорошим» свойством, которое позволяет решать бесконечные системы уравнений в модуле финитными средствами. Решения этих систем позволяют расширить некоторые виды модульных гомоморфизмов . Эти алгебраически компактные модули аналогичны инъективным модулям , где можно расширить все модульные гомоморфизмы. Все инъективные модули алгебраически компактны, и аналогия между ними становится достаточно точной благодаря вложению категорий.
где оба множества I и J могут быть бесконечными, и для каждого i число ненулевых конечно.
Цель состоит в том, чтобы решить, имеет ли такая система решение , то есть существуют ли элементы x j из M такие, что все уравнения системы удовлетворяются одновременно. (Не требуется, чтобы только конечное число x j было ненулевым.)
Модуль M алгебраически компактен , если для всех таких систем, если каждая подсистема, образованная конечным числом уравнений, имеет решение, то вся система имеет решение. (Решения для различных подсистем могут быть разными.)
С другой стороны, модульный гомоморфизм M → K является чистым вложением , если индуцированный гомоморфизм между тензорными произведениями C ⊗ M → C ⊗ Kинъективен для любого правого R -модуля C . Модуль M является чисто-инъективным , если любой чисто инъективный гомоморфизм j : M → K расщепляется (т. е. существует f : K → M с ).
Каждое векторное пространство алгебраически компактно (поскольку оно чисто-инъективно). В более общем смысле каждый инъективный модуль алгебраически компактен по той же причине.