Алгоритмическое охлаждение

Алгоритмическое охлаждение - это алгоритмический метод передачи тепла (или энтропии ) от одних кубитов к другим ^[1] или за пределы системы в окружающую среду, что приводит к охлаждающему эффекту. В этом методе используются обычные квантовые операции с ансамблями кубитов, и можно показать, что он может преуспеть за пределами ограничений Шеннона на сжатие данных . ^[2] Это явление является результатом связи термодинамики и теории информации .

Само охлаждение осуществляется алгоритмически с использованием обычных квантовых операций. Входными данными является набор кубитов, а выходными данными - подмножество кубитов, охлажденных до желаемого порогового значения, определяемого пользователем. Этот охлаждающий эффект может быть использован для инициализации холодных (очень чистых ) кубитов для квантовых вычислений и для увеличения поляризации определенных спинов в ядерном магнитном резонансе . Следовательно, его можно использовать в процессе инициализации, происходящем перед обычным квантовым вычислением.

Обзор [ править ]

Квантовым компьютерам нужны кубиты (квантовые биты), на которых они работают. Как правило, чтобы сделать вычисления более надежными, кубиты должны быть как можно более чистыми , чтобы минимизировать возможные колебания. Поскольку чистота кубита связана с энтропией фон Неймана и температурой , сделать кубиты максимально чистыми равносильно тому, чтобы сделать их максимально холодными (или иметь как можно меньшую энтропию). Один из методов охлаждения кубитов - это извлечение из них энтропии и их очистка. Это можно сделать двумя общими способами: обратимо (а именно, с помощью унитарных операций ) или необратимо (например, с помощью термостата.). Алгоритмическое охлаждение - это название семейства алгоритмов, которым предоставляется набор кубитов и которые очищают (охлаждают) их подмножество до желаемого уровня.

Это также можно рассматривать с точки зрения вероятности. Поскольку кубиты представляют собой двухуровневые системы, их можно рассматривать как монеты, в целом несправедливые . Очистить кубит означает (в данном контексте) сделать монету как можно более несправедливой : максимально увеличить разницу между вероятностями подбрасывания разных результатов. Более того, вышеупомянутая энтропия может быть рассмотрена через призму теории информации , которая приписывает энтропию любой случайной величине . Таким образом, очистку можно рассматривать как использование вероятностных операций (таких как классические логические вентили и условная вероятность ) для минимизации энтропии монет, делая их более несправедливыми.

Случай, в котором алгоритмический метод является обратимым, так что полная энтропия системы не изменяется, впервые был назван «тепловой двигатель молекулярного масштаба» ^[3], а также называется «обратимое алгоритмическое охлаждение». Этот процесс охлаждает одни кубиты и нагревает другие. Он ограничен вариантом ограничения Шеннона на сжатие данных, и он может асимптотически приближаться к границе.

Более общий метод, «необратимое алгоритмическое охлаждение», использует необратимую передачу тепла за пределы системы в окружающую среду (и, следовательно, может обойти границу Шеннона). Такой средой может быть термостат, и семейство алгоритмов, в котором оно используется, называется «алгоритмическое охлаждение с термостатом». ^[4] В этом алгоритмическом процессе энтропия обратимо передается определенным кубитам (называемым спинами сброса), которые связаны с окружающей средой гораздо сильнее, чем другие. После последовательности обратимых шагов, которые позволяют энтропии этих кубитов сброса, они становятся горячее, чем окружающая среда. Тогда сильная связьприводит к необратимой передаче тепла от этих спинов сброса в окружающую среду. Весь процесс может повторяться и применяться рекурсивно для достижения низких температур для некоторых кубитов.

Фон [ править ]

Термодинамика [ править ]

Алгоритмическое охлаждение можно обсуждать с точки зрения классической и квантовой термодинамики .

Охлаждение [ править ]

Классическая интерпретация «охлаждения» - это передача тепла от одного объекта к другому. Однако тот же процесс можно рассматривать как перенос энтропии . Например, если два газовых баллона, которые оба находятся в тепловом равновесии с двумя разными температурами, соприкасаются, энтропия будет передаваться от более «горячего» объекта (с более высокой энтропией) к «более холодному». Этот подход можно использовать при обсуждении охлаждения объекта, температура которого не всегда интуитивно определяется, например, отдельной частицы. Следовательно, процесс охлаждения спинов можно рассматривать как процесс передачи энтропии между спинами или за пределы системы.

Тепловой резервуар [ править ]

Концепция теплового резервуара широко обсуждается в классической термодинамике (например, в цикле Карно ). Для алгоритмического охлаждения достаточно рассматривать тепловые резервуары, или «тепловые ванны», как большие объекты, температура которых остается неизменной даже при контакте с объектами других («нормальных» размеров). Интуитивно это можно представить как ванну, наполненную водой комнатной температуры, которая практически сохраняет свою температуру, даже если в нее положить небольшой кусок горячего металла.

Используя энтропийную форму мышления из предыдущего раздела, объект, который считается горячим (с большой энтропией), может передавать тепло (и энтропию) более холодному термостату, тем самым понижая свою собственную энтропию. В результате этого процесса происходит охлаждение.

В отличие от переноса энтропии между двумя «обычными» объектами, который сохраняет энтропию системы, перенос энтропии в термостат обычно считается несохраняющим. Это связано с тем, что ванна обычно не считается частью соответствующей системы из-за ее размера. Следовательно, передавая энтропию термостату, можно существенно понизить энтропию их системы или, что то же самое, охладить ее. Продолжая этот подход, цель алгоритмического охлаждения состоит в том, чтобы максимально уменьшить энтропию системы кубитов, тем самым охлаждая ее.

Квантовая механика [ править ]

Общее введение [ править ]

Алгоритмическое охлаждение применяется к квантовым системам. Поэтому важно знать как основные принципы, так и соответствующие обозначения.

Кубит (или квантовый бит ) является единицей информации , которая может находиться в суперпозиции двух состояний , обозначаемых как и . Общая суперпозиция может быть записана как где и . Если измерить состояние кубита в ортонормированном базисе, состоящем из и , то получится результат с вероятностью и результат с вероятностью .${\ displaystyle | 0 \ rangle}$${\ displaystyle | 1 \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle = \ alpha | 0 \ rangle + \ beta | 1 \ rangle, \,}$${\ Displaystyle | \ альфа | ^ {2} + | \ бета | ^ {2} = 1}$${\ Displaystyle \ альфа, \ бета \ в \ mathbb {C}}$${\ displaystyle | 0 \ rangle}$${\ displaystyle | 1 \ rangle}$${\ displaystyle | 0 \ rangle}$ ${\ Displaystyle | \ альфа | ^ {2}}$${\ displaystyle | 1 \ rangle}$${\ Displaystyle | \ бета | ^ {2}}$

Приведенное выше описание известно как квантовое чистое состояние. Общее смешанное квантовое состояние может быть подготовлено как распределение вероятностей по чистым состояниям и представлено матрицей плотности общего вида , где каждое из них является чистым состоянием (см. Обозначения кет-бра ), и каждое - вероятность того, что в распределении . Квантовые состояния, которые играют основную роль в алгоритмическом охлаждении, представляют собой смешанные состояния в диагональной форме для . По сути, это означает, что состояние является чистым с вероятностью и чистым с вероятностью . в${\ displaystyle \ rho = \ sum _ {i} p_ {i} | \ psi _ {i} \ rangle \ langle \ psi _ {i} |}$${\ displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}$${\ displaystyle p_ {i}}$${\ displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}$${\displaystyle \rho ={\begin{pmatrix}{\frac {1+\epsilon }{2}}&0\\0&{\frac {1-\epsilon }{2}}\\\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \epsilon \in [-1,1]}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle {\frac {1+\epsilon }{2}}}$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle {\frac {1-\epsilon }{2}}}$кеты-бюстгальтер обозначение , то матрица плотности является . Ибо состояние называется чистым, а состояние называется полностью смешанным (представлено нормализованной единичной матрицей ). Полностью смешанное состояние представляет собой равномерное распределение вероятностей по состояниям и .${\displaystyle {\frac {1+\epsilon }{2}}|0\rangle \langle 0|+{\frac {1-\epsilon }{2}}|1\rangle \langle 1|}$${\displaystyle \epsilon =\pm 1}$${\displaystyle \epsilon =0}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$

Поляризация или предвзятость государства [ править ]

Вышеупомянутое состояние называется -поляризованным или -смещенным, поскольку в диагональных записях оно отклоняется от полностью смешанного состояния.${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$

Другой подход к определению смещения или поляризации - использование сферы Блоха (или, как правило, шара Блоха ). Ограниченное диагональной матрицей плотности, состояние может находиться на прямой линии, соединяющей противоположные точки, представляющие состояния и («северный и южный полюса» сферы). В этом подходе параметр ( ) - это в точности расстояние (с точностью до знака) состояния от центра шара, который представляет полностью смешанное состояние. Ибо государство находится точно на полюсах, а государство - точно в центре. Смещение может быть отрицательным (например ), и в этом случае состояние находится посередине между центром и южным полюсом.${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon \in [-1,1]}$${\displaystyle \epsilon =\pm 1}$${\displaystyle \epsilon =0}$${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$

В форме представления матриц Паули -смещенным квантовым состоянием является . ^[4]${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+\epsilon &0\\0&1-\epsilon \end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}\left(I+(0,0,\epsilon )\cdot {\vec {\sigma }}\right)={\frac {1}{2}}(I+\epsilon \sigma _{z})}$

Энтропия [ править ]

Поскольку речь идет о квантовых системах, здесь используется энтропия фон Неймана . Для одного кубита, представленного (диагональной) матрицей плотности выше, его энтропия равна (где логарифм от основания ). Это выражение совпадает с энтропией в качестве недобросовестной монеты с «уклоном» , что означает вероятность для Отбросив голов. Монета с уклоном является детерминированной с нулевой энтропией, а монета с уклоном справедливо с максимальной энтропией ( .${\displaystyle H(\epsilon )=-{\Bigl (}{\frac {1+\epsilon }{2}}\log {\frac {1+\epsilon }{2}}+{\frac {1-\epsilon }{2}}\log {\frac {1-\epsilon }{2}}{\Bigr )}}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle {\frac {1+\epsilon }{2}}}$${\displaystyle \epsilon =\pm 1}$${\displaystyle \epsilon =0}$${\displaystyle H(\epsilon =0)=\log 2=1)}$

Связь между монетным подходом и энтропией фон Неймана является примером связи между энтропией в термодинамике и в теории информации .

Интуиция [ править ]

Интуиция в отношении этого семейства алгоритмов может исходить из различных областей и мировоззрений, которые не обязательно являются квантовыми. Это связано с тем, что эти алгоритмы явно не используют квантовые явления в своих операциях или анализе и в основном полагаются на теорию информации . Таким образом, проблема может рассматриваться с классической (физической, вычислительной и т. Д.) Точки зрения.

Физика [ править ]

Физическая интуиция этого семейства алгоритмов исходит из классической термодинамики . ^[3]

Обратимый корпус [ править ]

Базовый сценарий - это массив кубитов с одинаковыми начальными смещениями. Это означает, что массив содержит небольшие термодинамические системы, каждая с одинаковой энтропией . Цель состоит в том, чтобы передавать энтропию от одних кубитов к другим, что в конечном итоге приводит к подмассиву «холодных» кубитов и другому подмассиву «горячих» кубитов (подмассивы различаются энтропией своих кубитов, как в фоновый раздел). Передача энтропии ограничена, чтобы быть обратимой, что означает, что полная энтропия сохраняется. Следовательно, обратимое алгоритмическое охлаждение можно рассматривать как акт перераспределения энтропии всех кубитов для получения набора более холодных кубитов, в то время как другие более горячие.

Чтобы увидеть аналогию из классической термодинамики, два кубита можно рассматривать как газовый контейнер с двумя отсеками, разделенными подвижной теплоизоляционной перегородкой. Если для обратимого перемещения перегородки применяется внешняя работа , газ в одном отсеке сжимается, что приводит к более высокой температуре (и энтропии), в то время как газ в другом расширяется, что аналогичным образом приводит к более низкой температуре (и энтропии). ). Поскольку он обратимый, можно производить обратное действие, возвращая емкость и газы в исходное состояние. Передача энтропии здесь аналогична передаче энтропии при алгоритмическом охлаждении в том смысле, что, применяя внешнюю работу, энтропия может обратимо передаваться между кубитами.

Необратимый случай [ править ]

Базовый сценарий остается прежним, но есть дополнительный объект - термобаня . Это означает, что энтропия может передаваться от кубитов во внешний резервуар, а некоторые операции могут быть необратимыми, что может быть использовано для охлаждения одних кубитов без нагрева других. В частности, горячие кубиты (более горячие, чем ванна), которые были на принимающей стороне обратимой передачи энтропии, могут быть охлаждены, позволяя им взаимодействовать с тепловой ванной. Классической аналогией этой ситуации является холодильник Карно , а именно этап, на котором двигатель контактирует с холодным резервуаром, а тепло (и энтропия) течет от двигателя к резервуару.

Теория информации [ править ]

Интуиция для этого семейства алгоритмов может исходить из расширения решения Фон-Неймана для проблемы получения справедливых результатов от смещенной монеты . ^[5] В этом подходе к алгоритмическому охлаждению смещение кубитов является просто смещением вероятности или «несправедливостью» монеты.

Приложения [ править ]

Двумя типичными приложениями, требующими большого количества чистых кубитов, являются квантовая коррекция ошибок (QEC) ^[4] и ансамблевые вычисления. ^[2] В реализациях квантовых вычислений (реализация и применение алгоритмов на реальных кубитах) алгоритмическое охлаждение было задействовано в реализациях в оптических решетках . ^[6] Кроме того, алгоритмическое охлаждение может применяться к магнитно-резонансной спектроскопии in vivo . ^[7]

Квантовая коррекция ошибок [ править ]

Квантовая коррекция ошибок - это квантовый алгоритм защиты от ошибок. Алгоритм работает с соответствующими кубитами (которые работают в рамках вычислений) и требует поставки новых чистых кубитов для каждого раунда. Это требование может быть ослаблено ^{[4] [8]} до уровня чистоты выше определенного порога вместо того, чтобы требовать полностью чистых кубитов. Для этого можно использовать алгоритмическое охлаждение для получения кубитов желаемой чистоты для квантовой коррекции ошибок.

Ансамблевые вычисления [ править ]

Ансамблевые вычисления - это вычислительная модель, в которой используется макроскопическое количество идентичных компьютеров. Каждый компьютер содержит определенное количество кубитов, и вычислительные операции выполняются одновременно на всех компьютерах. Результат вычисления может быть получен путем измерения состояния всего ансамбля, которое будет средним выводом каждого компьютера в нем. ^[9] Поскольку количество компьютеров является макроскопическим, выходной сигнал легче обнаружить и измерить, чем выходной сигнал каждого отдельного компьютера.

Эта модель широко используется в квантовых вычислениях ЯМР : каждый компьютер представлен одной (идентичной) молекулой, а кубиты каждого компьютера являются ядерными спинами его атомов . Полученный (усредненный) выходной сигнал представляет собой обнаруживаемый магнитный сигнал.

ЯМР-спектроскопия [ править ]

Спектроскопия ядерного магнитного резонанса (иногда называемая MRS - магнитно-резонансная спектроскопия) - это неинвазивный метод, связанный с МРТ ( магнитно-резонансная томография ) для анализа метаболических изменений in vivo (от латинского: «внутри живого организма»), который потенциально может быть использован. для диагностики опухолей головного мозга , болезни Паркинсона , депрессии и т. д. Он использует некоторые магнитные свойства соответствующих метаболитов для измерения их концентрации в организме, которая коррелирует с определенными заболеваниями. Например, разница между концентрациями метаболитов глутамата иглутамин может быть связан с некоторыми стадиями нейродегенеративных заболеваний, таких как болезнь Альцгеймера . ^[10]

Некоторые виды использования MRS сосредоточены на атомах углерода метаболитов (см. Ядерный магнитный резонанс углерода-13 ). Одна из основных причин этого - присутствие углерода в большей части всех протестированных метаболитов. Другой причиной является способность маркировать определенные метаболиты изотопом 13 C , который легче измерить, чем обычно используемые атомы водорода, главным образом из-за его магнитных свойств (таких как его гиромагнитное отношение ).

В MRS ядерные спины атомов метаболитов должны иметь определенную степень поляризации, чтобы спектроскопия могла быть успешной. Алгоритмическое охлаждение может применяться ^[7] in vivo , увеличивая разрешение и точность MRS. Было показано, что реализация (не in vivo) алгоритмического охлаждения метаболитов изотопом ¹³ C увеличивает поляризацию ¹³ C в аминокислотах ^[11] и других метаболитах. ^{[12] [13]}

MRS можно использовать для получения биохимической информации об определенных тканях тела неинвазивным способом. Это означает, что операцию нужно проводить при комнатной температуре . Некоторые методы увеличения поляризации спинов (такие как гиперполяризация и, в частности, динамическая поляризация ядер ) не могут работать в этих условиях, поскольку они требуют холодной окружающей среды (типичное значение составляет 1 К, примерно -272 градуса Цельсия ). С другой стороны, алгоритмическое охлаждение может работать при комнатной температуре и использоваться в MRS in vivo ^{[7], в} то время как методы, требующие более низкой температуры, могут использоваться в биопсии., вне живого тела.

Реверсивное алгоритмическое охлаждение - основная процедура сжатия [ править ]

Алгоритм работает с массивом одинаково (и независимо) смещенных кубитов. После того, как алгоритм передает тепло (и энтропию) от одних кубитов к другим, полученные кубиты перестраиваются в порядке возрастания смещения. Затем этот массив делится на два подмассива: «холодные» кубиты (со смещением, превышающим определенный порог, выбранный пользователем) и «горячие» кубиты (со смещением ниже этого порога). Для дальнейших квантовых вычислений используются только «холодные» кубиты . Основная процедура называется «Базовая подпрограмма сжатия» ^[2] или «3-битное сжатие». ^[14]

Обратимый случай можно продемонстрировать на 3 кубитах, используя вероятностный подход. Каждый кубит представлен «монетой» (двухуровневая система), стороны которой помечены 0 и 1, и с определенным смещением: каждая монета независимо смещена , что означает вероятность подбрасывания 0. Монеты есть, и цель состоит в том, чтобы используйте монеты, чтобы охладить монету (кубит) . Процедура:${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle {\frac {1+\epsilon }{2}}}$${\displaystyle A,B,C}$${\displaystyle B,C}$${\displaystyle A}$

1. Подбрасывайте монеты самостоятельно.${\displaystyle A,B,C}$
2. Нанесите C-NOT на .${\displaystyle B,C}$
3. Используйте монету для кондиционирования C-SWAP монет .${\displaystyle B}$${\displaystyle A,C}$

После этой процедуры, среднее ( ожидаемое значение ) от смещения монеты есть, ведущий заказ , . ^[14]${\displaystyle A}$${\displaystyle \epsilon _{new}^{average}={\frac {3}{2}}\epsilon }$

C-NOT шаг [ править ]

Монеты используются для операции C-NOT , также известной как XOR (исключающее ИЛИ ). Операция применяется следующим образом:, что означает, что вычисляется, заменяет старое значение и остается неизменным. В частности, применяется следующая операция:${\displaystyle B,C}$${\displaystyle A_{new}=A,B_{new}=B\oplus C,C_{new}=C}$${\displaystyle B\oplus C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A,C}$

• Если результат монеты 1:${\displaystyle C}$
  • Подбросьте монету, не глядя на результат${\displaystyle B}$
• Иначе (результат монеты 0):${\displaystyle C}$
  • Ничего не делать (все еще не глядя на результат )${\displaystyle B}$

Теперь проверяется результат монеты (не глядя ). Классически это означает, что результат монеты нужно «забыть» (больше нельзя использовать). Классически это несколько проблематично, потому что результат монеты больше не является вероятностным; однако эквивалентные квантовые операторы (которые фактически используются в реализациях и реализациях алгоритма) способны это делать. ^[14]${\displaystyle B_{new}}$${\displaystyle A_{new},C_{new}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

После завершения операции C-NOT смещение монеты вычисляется с использованием условной вероятности :${\displaystyle C_{new}}$

1. Если (значение ): . Следовательно, новый уклон монеты есть .${\displaystyle B_{new}=0}$${\displaystyle B=C}$${\displaystyle P(C_{new}=0|B=C)={\frac {P(B=C=0)}{P(B=C)}}={\frac {\frac {(1+\epsilon )^{2}}{4}}{{\frac {(1+\epsilon )^{2}}{4}}+{\frac {(1-\epsilon )^{2}}{4}}}}={\frac {\frac {(1+\epsilon )^{2}}{4}}{\frac {1+\epsilon ^{2}}{2}}}={\frac {1+{\frac {2\epsilon }{1+\epsilon ^{2}}}}{2}}}$${\displaystyle C_{new}}$${\displaystyle {\frac {2\epsilon }{1+\epsilon ^{2}}}}$
2. Если (значение ): . Следовательно, новый уклон монеты есть .${\displaystyle B_{new}=1}$${\displaystyle B\neq C}$${\displaystyle P(C_{new}=0|B\neq C)={\frac {P(C=0,B=1)}{P(B\neq C)}}={\frac {{\frac {1+\epsilon }{2}}{\frac {1-\epsilon }{2}}}{{\frac {1+\epsilon }{2}}{\frac {1-\epsilon }{2}}+{\frac {1-\epsilon }{2}}{\frac {1+\epsilon }{2}}}}={\frac {\frac {1-\epsilon ^{2}}{4}}{\frac {1-\epsilon ^{2}}{2}}}={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle C_{new}}$${\displaystyle 0}$

Шаг C-SWAP [ править ]

Монеты используются для операции C- SWAP . Операция применяется следующим образом:, что означает, что меняются местами, если .${\displaystyle A_{new},B_{new},C_{new}}$${\displaystyle A'=A_{new}B_{new}+{\overline {B_{new}}}C_{new},B'=B_{new},C'=A_{new}{\overline {B_{new}}}+B_{new}C_{new}}$${\displaystyle A_{new},C_{new}}$${\displaystyle B_{new}=0}$

После завершения операции C-SWAP:

1. Если : монеты и были поменяны местами, следовательно, монета теперь смещена, а монета - смещена.${\displaystyle B_{new}=0}$${\displaystyle A_{new}}$${\displaystyle C_{new}}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle {\frac {2\epsilon }{1+\epsilon ^{2}}}}$${\displaystyle C'}$${\displaystyle \epsilon }$
2. Иначе ( ): монета остается без изменений (по-прежнему смещения ), а монета остается с смещением . В этом случае монету можно выбросить из системы, так как она слишком «горячая» (ее смещение слишком мало или, что то же самое, ее энтропия слишком высока).${\displaystyle B_{new}=1}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle C'}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle C'}$

Среднее смещение монеты можно рассчитать, глядя на эти два случая, используя окончательное смещение в каждом случае и вероятность каждого случая:${\displaystyle A'}$

${\displaystyle \epsilon _{new}^{average}=P(B_{new}=0)\cdot {\frac {2\epsilon }{1+\epsilon ^{2}}}+P(B_{new}=1)\cdot \epsilon =\left({\frac {(1+\epsilon )^{2}}{4}}+{\frac {(1-\epsilon )^{2}}{4}}\right)\cdot {\frac {2\epsilon }{1+\epsilon ^{2}}}+\left({\frac {1+\epsilon }{2}}{\frac {1-\epsilon }{2}}+{\frac {1-\epsilon }{2}}{\frac {1+\epsilon }{2}}\right)\cdot \epsilon ={\frac {3\epsilon }{2}}-{\frac {\epsilon ^{3}}{2}}}$

Используя приближение , новое среднее смещение монеты составляет . Следовательно, эти два шага в среднем увеличивают поляризацию монеты .${\displaystyle \epsilon \ll 1}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle \epsilon _{new}^{average}={\frac {3}{2}}\epsilon }$${\displaystyle A}$

Альтернативное объяснение: квантовые операции [ править ]

Алгоритм может быть написан с использованием квантовых операций над кубитами, в отличие от классической обработки. В частности, шаги C-NOT и C-SWAP можно заменить одним унитарным квантовым оператором, который работает с 3 кубитами. ^[14] Хотя эта операция изменяет кубиты иначе, чем два классических шага, она дает такое же окончательное смещение для кубита . Оператор может быть однозначно определен своим действием на вычислительной базе гильбертова пространства из 3 кубитов:${\displaystyle B,C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle |000\rangle \mapsto |000\rangle }$,

${\displaystyle |001\rangle \mapsto |001\rangle }$,

${\displaystyle |010\rangle \mapsto |010\rangle }$,

${\displaystyle |011\rangle \mapsto |100\rangle }$,

${\displaystyle |100\rangle \mapsto |011\rangle }$,

${\displaystyle |101\rangle \mapsto |101\rangle }$,

${\displaystyle |110\rangle \mapsto |110\rangle }$,

${\displaystyle |111\rangle \mapsto |111\rangle }$.

В матричной форме этот оператор представляет собой единичную матрицу размера 8, за исключением того, что 4-я и 5-я строки меняются местами. Результат этой операции можно получить, записав состояние продукта 3 кубитов , и применив к нему. После этого смещение кубита можно рассчитать, спроецировав его состояние на состояние (без проецирования кубитов ) и взяв след результата (см. Измерение матрицы плотности ):${\displaystyle \rho _{A,B,C}=\rho _{A}\otimes \rho _{B}\otimes \rho _{C}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle A}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle B,C}$

${\displaystyle {\frac {1+\epsilon _{new}^{average}}{2}}=\operatorname {tr} [(P_{0}\otimes I\otimes I)(U\rho _{A,B,C}U^{\dagger })]={\frac {1+{\frac {3\epsilon }{2}}-{\frac {\epsilon ^{3}}{2}}}{2}}}$, где - проекция на состояние .${\displaystyle P_{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}=|0\rangle \langle 0|}$${\displaystyle |0\rangle }$

Опять же, используя приближение , новое среднее смещение монеты составляет .${\displaystyle \epsilon \ll 1}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \epsilon _{new}^{average}={\frac {3}{2}}\epsilon }$

Алгоритмическое охлаждение с использованием тепловой ванны (необратимое алгоритмическое охлаждение) [ править ]

Необратимый случай является расширением обратимого случая: он использует обратимый алгоритм как подпрограмму. Необратимый алгоритм содержит другую процедуру, называемую «Refresh» ^{[4] [14],} и расширяет обратимый алгоритм с помощью термостата.. Это позволяет охлаждать определенные кубиты (так называемые «кубиты сброса»), не затрагивая другие, что приводит к общему охлаждению всех кубитов как системы. Охлажденные кубиты сброса используются для охлаждения остальных (называемых «вычислительными кубитами») путем применения к ним сжатия, которое аналогично базовой подпрограмме сжатия из обратимого случая. «Изоляция» вычислительных кубитов от термостата - это теоретическая идеализация, которая не всегда выполняется при реализации алгоритма. Однако при правильном выборе физической реализации каждого типа кубита это предположение справедливо. ^{[1] [15]}

Существует много разных версий этого алгоритма с различным использованием кубитов сброса и разными достижимыми смещениями. ^{[1] [2] [14] [7] [15]} Их общую идею можно продемонстрировать с помощью трех кубитов: двух вычислительных кубитов и одного кубита сброса . ^[4]${\displaystyle A,B}$${\displaystyle C}$

Каждый из трех кубитов изначально находится в полностью смешанном состоянии со смещением (см. Раздел « Справочная информация »). Затем выполняются следующие шаги:${\displaystyle 0}$

1. Обновить: кубит сброса взаимодействует с термостатом.${\displaystyle C}$
2. Сжатие: к трем кубитам применяется обратимое сжатие (перенос энтропии).

Каждый раунд алгоритма состоит из трех итераций, и каждая итерация состоит из этих двух шагов (обновление, а затем сжатие). Шаг сжатия в каждой итерации немного отличается, но его цель - отсортировать кубиты в порядке убывания смещения, чтобы кубит сброса имел наименьшее смещение (а именно, самую высокую температуру) из всех кубитов. Это служит двум целям:

• Передача как можно большего количества энтропии от вычислительных кубитов.
• Перенос как можно большего количества энтропии из всей системы (и в частности кубита сброса) в ванну на следующем этапе обновления.

При записи матриц плотности после каждой итерации шаг сжатия в 1-м раунде можно эффективно обрабатывать следующим образом:

• 1-я итерация: поменять местами кубит на ранее обновленный кубит сброса .${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$
• 2-я итерация: поменять местами кубит на ранее обновленный кубит сброса .${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$
• 3-я итерация: усиление смещения кубита .${\displaystyle A}$

Описание этапа сжатия в следующих циклах зависит от состояния системы до начала цикла и может быть более сложным, чем приведенное выше описание. В этом иллюстративном описании алгоритма повышенное смещение кубита (полученное после окончания первого раунда) равно , где - смещение кубитов в термостате. ^[4] Этот результат получается после последнего шага сжатия; непосредственно перед этим шагом каждый кубит был смещен, что в точности соответствует состоянию кубитов до применения обратимого алгоритма.${\displaystyle A}$${\displaystyle {\frac {3\epsilon _{b}}{2}}-{\frac {\epsilon _{b}^{3}}{2}}}$${\displaystyle \epsilon _{b}}$${\displaystyle \epsilon _{b}}$

Обновить шаг [ править ]

Контакт, который устанавливается между кубитом сброса и термостатом, можно смоделировать несколькими способами:

1. Физическое взаимодействие между двумя термодинамическими системами, которое в конечном итоге приводит к сбросу кубита, температура которого идентична температуре ванны (что эквивалентно - со смещением, равным смещению кубитов в ванне ).${\displaystyle \epsilon _{b}}$
2. Математическая трассировка кубита сброса с последующим переводом системы в состояние продукта с новым новым кубитом из ванны. Это означает, что мы теряем прежний кубит сброса и получаем новый, обновленный. Формально это можно записать как , где - новая матрица плотности (после удержания операции), - операция частичной трассировки кубита сброса , а - матрица плотности, описывающая (новый) кубит из ванны со смещением .${\displaystyle \rho _{new}=tr_{C}(\rho )\otimes \rho _{\epsilon _{b}}}$${\displaystyle \rho _{new}}$${\displaystyle tr_{C}(\rho )}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \rho _{\epsilon _{b}}}$${\displaystyle \epsilon _{b}}$

В обоих случаях результатом является кубит сброса, смещение которого идентично смещению кубитов в ванне. Кроме того, полученный кубит сброса не коррелирует с другими, независимо от корреляций между ними до того, как был проведен этап обновления. Следовательно, этап обновления можно рассматривать как отбрасывание информации о текущем кубите сброса и получение информации о свежем новом кубите из ванны.

Шаг сжатия [ править ]

Цель этого шага - обратимо перераспределить энтропию всех кубитов так, чтобы смещения кубитов были в убывающем (или не возрастающем) порядке. Операция выполняется обратимо, чтобы предотвратить увеличение энтропии всей системы (поскольку она не может уменьшаться в закрытой системе, см. Энтропию ). Что касается температуры, на этом этапе кубиты перестраиваются в порядке возрастания температуры, так что кубиты сброса являются самыми горячими. В примере с тремя кубитами это означает, что после того, как сжатие выполнено, смещение кубита будет самым высоким, а смещение - самым низким. Кроме того, сжатие используется для охлаждения вычислительных кубитов.${\displaystyle A,B,C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C}$

Состояние системы будет обозначаться, если кубиты не коррелированы друг с другом (а именно, если система находится в состоянии продукта ) и их соответствующие смещения .${\displaystyle (\epsilon _{A},\epsilon _{B},\epsilon _{C})}$${\displaystyle A,B,C}$${\displaystyle \epsilon _{A},\epsilon _{B},\epsilon _{C}}$

Сжатие можно описать как операцию сортировки диагональных элементов матрицы плотности, описывающей систему. Например, если состояние системы после определенного шага сброса равно , то сжатие действует на состояние следующим образом:${\displaystyle (2\epsilon _{b},0,\epsilon _{b})}$

${\displaystyle \rho _{ABC}={\frac {1}{8}}\operatorname {diag} {\begin{pmatrix}(1+2\epsilon _{b})(1+\epsilon _{b})\\(1+2\epsilon _{b})(1-\epsilon _{b})\\(1+2\epsilon _{b})(1+\epsilon _{b})\\(1+2\epsilon _{b})(1-\epsilon _{b})\\(1-2\epsilon _{b})(1+\epsilon _{b})\\(1-2\epsilon _{b})(1-\epsilon _{b})\\(1-2\epsilon _{b})(1+\epsilon _{b})\\(1-2\epsilon _{b})(1-\epsilon _{b})\end{pmatrix}}{\xrightarrow {compression}}\rho _{ABC}'={\frac {1}{8}}\operatorname {diag} {\begin{pmatrix}(1+2\epsilon _{b})(1+\epsilon _{b})\\(1+2\epsilon _{b})(1+\epsilon _{b})\\(1+2\epsilon _{b})(1-\epsilon _{b})\\(1+2\epsilon _{b})(1-\epsilon _{b})\\(1-2\epsilon _{b})(1+\epsilon _{b})\\(1-2\epsilon _{b})(1+\epsilon _{b})\\(1-2\epsilon _{b})(1-\epsilon _{b})\\(1-2\epsilon _{b})(1-\epsilon _{b})\end{pmatrix}}}$

Это обозначение обозначает диагональную матрицу , диагональные элементы которой указаны в круглых скобках. Матрицы плотности представляют состояние системы (включая возможные корреляции между кубитами) до и после этапа сжатия соответственно. В приведенных выше обозначениях состояние после сжатия равно .${\displaystyle \rho _{ABC},\rho _{ABC}'}$${\displaystyle (2\epsilon _{b},\epsilon _{b},0)}$

Эта операция сортировки используется для перестановки кубитов в порядке убывания смещения. ^{[15] [4]} Как и в примере, в некоторых случаях операция сортировки может быть описана более простой операцией, такой как замена . Однако общая форма операции сжатия - это операция сортировки диагональных элементов матрицы плотности.

Для интуитивной демонстрации шага сжатия ниже представлена ​​последовательность алгоритма в 1-м раунде:

• 1-я итерация:
  • После шага обновления состояние будет .${\displaystyle (0,0,\epsilon _{b})}$
  • После этапа сжатия (который меняет местами кубиты ) состояние равно .${\displaystyle A,C}$${\displaystyle (\epsilon _{b},0,0)}$
• 2-я итерация:
  • После шага обновления состояние будет .${\displaystyle (\epsilon _{b},0,\epsilon _{b})}$
  • После этапа сжатия (который меняет местами кубиты ) состояние равно .${\displaystyle B,C}$${\displaystyle (\epsilon _{b},\epsilon _{b},0)}$
• 3-я итерация:
  • После шага обновления состояние будет .${\displaystyle (\epsilon _{b},\epsilon _{b},\epsilon _{b})}$
  • После этапа сжатия (который увеличивает смещение кубита ) смещения кубитов равны , что может быть аппроксимировано (в ведущем порядке) с помощью . Здесь каждое смещение независимо определяется как смещение соответствующего кубита при отбрасывании остальной части системы (с использованием частичного следа ), даже если между ними есть корреляции . Следовательно, это обозначение не может полностью описать систему, а может использоваться только как интуитивная демонстрация шагов алгоритма.${\displaystyle A}$${\displaystyle {\frac {3\epsilon _{b}}{2}}-{\frac {\epsilon _{b}^{3}}{2}},{\frac {\epsilon _{b}}{2}}+{\frac {\epsilon _{b}^{3}}{2}},{\frac {\epsilon _{b}}{2}}+{\frac {\epsilon _{b}^{3}}{2}}}$${\displaystyle {\frac {3\epsilon _{b}}{2}},{\frac {\epsilon _{b}}{2}},{\frac {\epsilon _{b}}{2}}}$

После завершения 1-го раунда смещение кубита сброса ( ) меньше смещения термостата ( ). Это означает, что на следующем этапе обновления (во 2-м раунде алгоритма) кубит сброса будет заменен новым кубитом со смещением : это охлаждает всю систему, как и на предыдущих этапах обновления. Далее алгоритм продолжается аналогичным образом.${\displaystyle {\frac {\epsilon _{b}}{2}}+{\frac {\epsilon _{b}^{3}}{2}}}$${\displaystyle \epsilon _{b}}$${\displaystyle \epsilon _{b}}$

Общие результаты [ править ]

Количество раундов не ограничено: поскольку смещения кубитов сброса асимптотически достигают смещения ванны после каждого раунда, смещение целевого вычислительного кубита асимптотически достигает своего предела по мере выполнения алгоритма. ^{[2] [15]} Целевой кубит - это вычислительный кубит, который алгоритм стремится максимально охладить. «Предел охлаждения» (максимальное смещение, которое может достичь целевой кубит) зависит от смещения ванны и количества кубитов каждого типа в системе. Если количество вычислительных кубитов (без учета целевого) равно, а количество кубитов сброса равно , то предел охлаждения равен . ^[4] В случае , когда максимальная поляризация, которую можно получить, пропорциональна${\displaystyle n'}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \epsilon _{max}={\frac {(1+\epsilon _{b})^{m2^{n'}}-(1-\epsilon _{b})^{m2^{n'}}}{(1+\epsilon _{b})^{m2^{n'}}+(1-\epsilon _{b})^{m2^{n'}}}}}$${\displaystyle \epsilon _{b}\ll m2^{n'}}$${\displaystyle m2^{n'}}$. В противном случае максимальное смещение достигает произвольно близкого к . Количество раундов, необходимых для достижения определенного смещения, зависит от желаемого смещения, смещения ванны и количества кубитов и, кроме того, варьируется между различными версиями алгоритма. ^{[16] [4] [1]}${\displaystyle 1}$

Существуют и другие теоретические результаты, которые дают ограничения на количество итераций, необходимых для достижения определенного смещения. Например, если смещение ванны равно , то количество итераций, необходимых для охлаждения определенного кубита до смещения, составляет не менее .${\displaystyle \epsilon _{b}\ll 1}$${\displaystyle k\epsilon _{b}\ll 1}$${\displaystyle k^{2}}$

Ссылки [ править ]