Анатолий Карацуба

Анатолий Алексеевич Карацуба
Рожденный	(1937-01-31)31 января 1937 г. Грозный , Советский Союз
Умер	28 сентября 2008 г. (2008-09-28)(71 год) Москва , Россия
Национальность	русский
Альма-матер	Московский Государственный Университет
Научная карьера
Поля	Математик

Анатолий Алексеевич Карацуба (его имя часто пишется Анатолий ) ( русский : Анато́лий Алексе́евич Карацу́ба ; Грозный , Советский Союз , 31 января 1937 г. - Москва , Россия , 28 сентября 2008 г. ^[1] ) был российским математиком, работающим в области аналитики. теория чисел , p -адические числа и ряды Дирихле .

Большую часть своей студенческой и профессиональной жизни он был связан с механико-математическим факультетом МГУ , защитив докторскую диссертацию. там под названием «Метод тригонометрических сумм и теорем промежуточного значения» в 1966 году ^[2] Позже он занимал должность в Математическом институте математики в Академии наук . ^[2]

Его учебник « Основы аналитической теории чисел» разошелся двумя выпусками, 1975 и 1983 гг. ^[2]

Алгоритм Карацуба является самым ранним известным разделяй и властвуй алгоритм для умножения и жизни на как частный случай его прямого обобщения, в алгоритме Тоом-Кук . ^[3]

Основные исследования Анатолия Карацубы опубликованы более чем в 160 научных статьях и монографиях. ^[4]

Его дочь Екатерина Карацуба , тоже математик, построила метод FEE .

Награды и звания [ править ]

• 1981 : Премия Академии наук СССР им. П.Л. Чебышева.
• 1999 : Заслуженный деятель науки России.
• 2001 : Премия им. И.М. Виноградова РАН.

Ранние работы по информатике [ править ]

Будучи студентом МГУ им. М.В. Ломоносова, Карацуба посетил семинар Андрея Колмогорова и нашел решение двух задач, поставленных Колмогоровым. Это было важно для развития теории автоматов и положило начало новому разделу математики - теории быстрых алгоритмов.

Автоматы [ править ]

В работе Эдвард Ф. Мур , ^[5] , автомат (или машине) , определяются как устройство с состояниями, входными символами и выходными символами. Доказаны девять теорем о структуре и экспериментах с ними. Позже такие машины получили название машин Мура . В конце статьи, в главе «Новые задачи», Мур формулирует задачу улучшения оценок, полученных им в теоремах 8 и 9:${\displaystyle (n;m;p)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle p}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$

Теорема 8 (Мур). Для произвольной машины , такой, что каждые два состояния можно отличить друг от друга, существует длительный эксперимент, который идентифицирует состояние в конце этого эксперимента.${\displaystyle (n;m;p)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle n(n-1)/2}$${\displaystyle S}$

В 1957 году Карацуба доказал две теоремы, которые полностью решили проблему Мура об улучшении оценки продолжительности эксперимента в его теореме 8 .

Теорема А (Карацуба). Если это машина таким образом, что каждая из двух его состояния можно отличить друг от друга , то существует разветвленная эксперимент длиной по большей мере , с помощью которого можно найти состояние в конце эксперимента.${\displaystyle S}$${\displaystyle (n;m;p)}$${\displaystyle (n-1)(n-2)/2+1}$${\displaystyle S}$

Теорема B (Карацуба). Существует машина, каждое состояние которой можно отличить друг от друга, так что длина самого короткого эксперимента, в котором определяется состояние машины в конце эксперимента, равна .${\displaystyle (n;m;p)}$${\displaystyle (n-1)(n-2)/2+1}$

Эти две теоремы были доказаны Карацубой на 4-м курсе в качестве основы его 4-летнего проекта; соответствующая статья была подана в журнал «Успехи матем. наук» 17 декабря 1958 г. и опубликована в июне 1960 г. ^[6] До сих пор (2011 г.) этот результат Карацубы, впоследствии получивший название «теорема Мура-Карацубы» ", остается единственным точным (единственный точный нелинейный порядок оценки) нелинейным результатом как в теории автоматов, так и в аналогичных задачах теории сложности вычислений.

Работает в области теории чисел [ править ]

Основные исследования А.А. Карацубы опубликованы более чем в 160 научных статьях и монографиях. ^{[7] [8] [9] [10]}

Р -адический метод [ править ]

А.А. Карацуба построил новый -адический метод теории тригонометрических сумм. ^[11] Оценки так называемых -сумм вида${\displaystyle p}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle S=\sum _{x=1}^{P}e^{2\pi i(a_{1}x/p^{n}+\dots a_{n}x^{n}/p)},\quad (a_{s},p)=1,\quad 1\leq s\leq n,}$

привел ^[12] к новым оценкам нулей -рядов Дирихле по модулю степени простого числа, к асимптотической формуле для числа сравнений Варинга вида${\displaystyle L}$

${\displaystyle x_{1}^{n}+\dots +x_{t}^{n}\equiv N{\pmod {p^{k}}},\quad 1\leq x_{s}\leq P,\quad 1\leq s\leq n,\quad P<p^{k},}$

к решению задачи о распределении дробных частей многочлена с целыми коэффициентами по модулю . А.А. Карацуба первым реализовал ^[13] в -адической форме «принцип вложения» Эйлера-Виноградова и вычислил -адический аналог -чисел Виноградова при оценке числа решений сравнения типа Варинга.${\displaystyle p^{k}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle u}$

Предположим, что: и более того: где - простое число. Карацуба доказал, что в этом случае для любого натурального числа существует такое, что для любого натурального числа может быть представлено в виде (1) для , и для существуют такие, что сравнение (1) не имеет решений.${\displaystyle x_{1}^{n}+\dots +x_{t}^{n}\equiv N{\pmod {Q}},\quad 1\leq x_{s}\leq P,\quad 1\leq s\leq t,\quad (1)}$${\displaystyle P^{r}\leq Q<P^{r+1},\quad 1\leq r\leq {\frac {1}{12}}{\sqrt {n}},\quad Q=p^{k},\quad k\geq 4(r+1)n,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n\geq 144}$${\displaystyle p_{0}=p_{0}(n)}$${\displaystyle p_{0}>p_{0}(n)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle t\geq 20r+1}$${\displaystyle t<r}$${\displaystyle N}$

Этот новый подход, найденный Карацубой, привел к новому -адическому доказательству теоремы Виноградова о среднем значении, которая играет центральную роль в методе тригонометрических сумм Виноградова.${\displaystyle p}$

Еще одна составляющая -адического метода А.А. Карацубы - переход от неполных систем уравнений к полным за счет локальной -адической замены неизвестных. ^[14]${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

Позвольте быть произвольным натуральным числом ,. Определите целое число по неравенствам . Рассмотрим систему уравнений${\displaystyle r}$${\displaystyle 1\leq r\leq n}$${\displaystyle t}$${\displaystyle m_{t}\leq r\leq m_{t+1}}$

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}^{m_{1}}+\dots +x_{k}^{m_{1}}=y_{1}^{m_{1}}+\dots +y_{k}^{m_{1}}\\\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \\x_{1}^{m_{s}}+\dots +x_{k}^{m_{s}}=y_{1}^{m_{s}}+\dots +y_{k}^{m_{s}}\\x_{1}^{n}+\dots +x_{k}^{n}=y_{1}^{n}+\dots +y_{k}^{n}\end{cases}}}$

${\displaystyle 1\leq x_{1},\dots ,x_{k},y_{1},\dots ,y_{k}\leq P,\quad 1\leq m_{1}<m_{2}<\dots <m_{s}<m_{s+1}=n.}$

Карацуба доказал, что для числа решений этой системы уравнений при справедлива оценка${\displaystyle I_{k}}$${\displaystyle k\geq 6rn\log n}$

${\displaystyle I_{k}\ll P^{2k-\delta },\quad \delta =m_{1}+\dots +m_{t}+(s-t+1)r.}$

Для неполных систем уравнений, в которых переменные пробегают числа с малыми простыми делителями, Карацуба применил мультипликативный перенос переменных. Это привело к принципиально новой оценке тригонометрических сумм и новой теореме о среднем значении для таких систем уравнений.

Проблема Хуа Луогена о показателе сходимости сингулярного интеграла в проблеме Терри [ править ]

${\displaystyle p}$-адический метод А.А. Карацубы включает в себя методы оценки меры множества точек с малыми значениями функций в терминах значений их параметров (коэффициентов и т. д.) и, наоборот, методы оценки этих параметров в терминах меры этого набора в реальных и -адических метриках. Эта сторона метода Карацубы особенно ярко проявилась при оценке тригонометрических интегралов, что привело к решению проблемы Хуа Луогэна . В 1979 г. Карацуба вместе со своими учениками Г. И. Архиповым и В. Н. Чубариковым получили полное решение ^[15] задачи Хуа Луогена о нахождении показателя сходимости интеграла:${\displaystyle p}$

${\displaystyle \vartheta _{0}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\biggl |}\int \limits _{0}^{1}e^{2\pi i(\alpha _{n}x^{n}+\cdots +\alpha _{1}x)}dx{\biggr |}^{2k}d\alpha _{n}\ldots d\alpha _{1},}$

где - фиксированное число.${\displaystyle n\geq 2}$

В этом случае показатель сходимости означает значение , сходящееся для и расходящееся для , где произвольно мало. Было показано, что интеграл сходится при и расходится при .${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \vartheta _{0}}$${\displaystyle 2k>\gamma +\varepsilon }$${\displaystyle 2k<\gamma -\varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \vartheta _{0}}$${\displaystyle 2k>{\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n)+1}$${\displaystyle 2k\leq {\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n)+1}$

При этом была решена аналогичная задача для интеграла: где - целые числа, удовлетворяющие условиям:${\displaystyle \vartheta _{1}=\int _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }{\biggl |}\int _{0}^{1}e^{2\pi i(\alpha _{n}x^{n}+\alpha _{m}x^{m}+\cdots +\alpha _{r}x^{r})}dx{\biggr |}^{2k}d\alpha _{n}d\alpha _{m}\ldots d\alpha _{r},}$${\displaystyle n,m,\ldots ,r}$${\displaystyle 1\leq r<\ldots <m<n,\quad r+\ldots +m+n<{\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).}$

Карацуба и его ученики доказали, что интеграл сходится, если и расходится, если .${\displaystyle \vartheta _{1}}$${\displaystyle 2k>n+m+\ldots +r}$${\displaystyle 2k\leq n+m+\ldots +r}$

Интегралы и возникают при изучении так называемой проблемы Пруэ – Тарри – Эскотта . Карацуба и его ученики получили ряд новых результатов, связанных с многомерным аналогом проблемы Тарри. В частности, они доказали , что если многочлен в переменных ( ) вида: с нулевым свободным членом, , является мерный вектор, состоящий из коэффициентов , то интеграл: сходится при , где является наибольшим из числа . Этот результат, не будучи окончательным, породил новое направление в теории тригонометрических интегралов, связанное с улучшением оценок показателя сходимости${\displaystyle \vartheta _{0}}$${\displaystyle \vartheta _{1}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r\geq 2}$${\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{r})\,=\,\sum \limits _{\nu _{1}=0}^{n_{1}}\cdots \sum \limits _{\nu _{r}=0}^{n_{r}}\alpha (\nu _{1},\ldots ,\nu _{r})x_{1}^{\nu _{1}}\ldots x_{r}^{\nu _{r}},}$${\displaystyle m=(n_{1}+1)\ldots (n_{r}+1)-1}$${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \vartheta _{2}=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\biggl |}\int \limits _{0}^{1}\cdots \int \limits _{0}^{1}e^{2\pi iF(x_{1},\ldots ,x_{r})}dx_{1}\ldots dx_{r}{\biggr |}^{2k}d{\bar {\alpha }}}$${\displaystyle 2k>mn}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{r}}$${\displaystyle \vartheta _{2}}$ (Икромов И.А., Чахкиев М.А. и др.).

Несколько тригонометрических сумм [ править ]

В 1966–1980 гг. Карацуба разработал ^{[16] [17]} (при участии его учеников Г. И. Архипова и В. Н. Чубарикова) теорию кратных тригонометрических сумм Германа Вейля, т. Е. Сумм вида

${\displaystyle S=S(A)=\sum _{x_{1}=1}^{P_{1}}\dots \sum _{x_{r}=1}^{P_{r}}e^{2\pi iF(x_{1},\dots ,x_{r})}}$, где ,${\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{r})=\sum _{t_{1}=1}^{n_{1}}\dots \sum _{t_{r}=1}^{n_{r}}\alpha (t_{1},\dots ,t_{r})x_{1}^{t_{1}}\dots x_{r}^{t_{r}}}$

${\displaystyle A}$представляет собой систему действительных коэффициентов . Центральным пунктом этой теории, как и теории тригонометрических сумм Виноградова, является следующая теорема о среднем значении .${\displaystyle \alpha (t_{1},\dots ,t_{r})}$

Пусть натуральные числа, , . Кроме того, пусть будет мерный куб формы :: , в евклидовом пространстве: и :: . : Тогда для любого и значение можно оценить следующим образом${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{r},P_{1},\dots ,P_{r}}$${\displaystyle P_{1}=\min(P_{1},\dots ,P_{r})}$${\displaystyle m=(n_{1}+1)\dots (n_{r}+1)}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle m}$${\displaystyle 0\leq \alpha (t_{1},\dots ,t_{r})<1}$${\displaystyle 0\leq t_{1}\leq n_{1},\dots ,0\leq t_{r}\leq n_{r}}$${\displaystyle J=J(P_{1},\dots ,P_{r};n_{1},\dots ,n_{r};K,r)={\underset {\Omega }{\int \dots \int }}|S(A)|^{2K}dA}$${\displaystyle \tau \geq 0}$${\displaystyle K\geq K_{\tau }=m\tau }$${\displaystyle J}$

${\displaystyle J\leq K_{\tau }^{2m\tau }\varkappa ^{4\varkappa ^{2}\Delta (\tau )}2^{8m\varkappa \tau }(P_{1}\dots P_{r})^{2K}P^{-\varkappa \Delta (\tau )}}$ ,:

где , , , и натуральные числа такие , что: :: , .${\displaystyle \varkappa =n_{1}\nu _{1}+\dots +n_{r}\nu _{r}}$${\displaystyle \gamma \varkappa =1}$${\displaystyle \Delta (\tau )={\frac {m}{2}}(1-(1-\gamma )^{\tau })}$${\displaystyle P=(P_{1}^{n_{1}}\dots P_{r}^{n_{r}})^{\gamma }}$${\displaystyle \nu _{1},\dots ,\nu _{r}}$${\displaystyle -1<{\frac {P_{s}}{P_{1}}}-\nu _{s}\leq 0}$${\displaystyle s=1,\dots ,r}$

Теорема о среднем значении и лемма о кратности пересечения многомерных параллелепипедов составляют основу оценки кратной тригонометрической суммы, полученной Карацубой (двумерный случай выведен Г. И. Архиповым ^[18] ). Обозначая наименьшим общим кратным чисел с условием , так как выполняется оценка${\displaystyle Q_{0}}$${\displaystyle q(t_{1},\dots ,t_{r})}$${\displaystyle t_{1}+\dots t_{r}\geq 1}$${\displaystyle Q_{0}\geq P^{1/6}}$

${\displaystyle |S(A)|\leq (5n^{2n})^{r\nu (Q_{0})}(\tau (Q_{0}))^{r-1}P_{1}\dots P_{r}Q^{-0.1\mu }+2^{8r}(r\mu ^{-1})^{r-1}P_{1}\dots P_{r}P^{-0.05\mu }}$ ,

где - количество делителей целого числа , а - количество различных простых делителей числа .${\displaystyle \tau (Q)}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \nu (Q)}$${\displaystyle Q}$

Оценка функции Харди в задаче Варинга [ править ]

Применяя свою -адическую форму метода Харди-Литтлвуда-Рамануджана-Виноградова к оценке тригонометрических сумм, в которой суммирование ведется по числам с малыми простыми делителями, Карацуба получил ^[19] новую оценку хорошо известной функции Харди в уравнении Варинга. проблема (для ):${\displaystyle p}$${\displaystyle G(n)}$${\displaystyle n\geq 400}$

${\displaystyle \!G(n)<2n\log n+2n\log \log n+12n.}$

Многомерный аналог проблемы Варинга [ править ]

В своем последующем исследовании проблемы Варинга Карацуба получил ^[20] следующее двумерное обобщение этой проблемы:

Рассмотрим систему уравнений

${\displaystyle x_{1}^{n-i}y_{1}^{i}+\dots +x_{k}^{n-i}y_{k}^{i}=N_{i}}$ , ,${\displaystyle i=0,1,\dots ,n}$

где даны положительные целые числа с тем же порядком или ростом , и - неизвестные, которые также являются положительными целыми числами. У этой системы есть решения, если и если , то существуют такие , что у системы нет решений.${\displaystyle N_{i}}$${\displaystyle N_{0}\to +\infty }$${\displaystyle x_{\varkappa },y_{\varkappa }}$${\displaystyle k>cn^{2}\log n}$${\displaystyle k<c_{1}n^{2}}$${\displaystyle N_{i}}$

Проблема Артина о локальном представлении нуля формой [ править ]

Эмиль Артин поставил задачу о -адическом представлении нуля формой произвольной степени d . Артины изначально предположили результат, который будет теперь описан как р-адического поле будучи С 2 поля ; другими словами, нетривиальное представление нуля произошло бы, если бы количество переменных было не менее d ² . На примере Гая Терджаняна было показано, что это не так . Карацуба показал, что для того, чтобы иметь нетривиальное представление нуля формой, число переменных должно расти быстрее, чем полиномиально в степени d${\displaystyle p}$; это число фактически должно иметь почти экспоненциальный рост, в зависимости от степени. Карацуба и его ученик Архипов доказал, ^[21] , что для любого натурального числа существует такое , что для любого существует форма с целыми коэффициентами степени меньше , чем число переменных из которых , ,${\displaystyle r}$${\displaystyle n_{0}=n_{0}(r)}$${\displaystyle n\geq n_{0}}$${\displaystyle F(x_{1},\dots ,x_{k})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k\geq 2^{u}}$

${\displaystyle u={\frac {n}{(\log _{2}n)(\log _{2}\log _{2}n)\dots \underbrace {(\log _{2}\dots \log _{2}n)} _{r}\underbrace {(\log _{2}\dots \log _{2}n)^{3}} _{r+1}}}}$

который имеет лишь тривиальное представление нуля в 2-адических числах. Они также получили аналогичный результат для любого нечетного простого модуля .${\displaystyle p}$

Оценки коротких сумм Клоостермана [ править ]

Карацуба разработал ^{[22] [23] [24]} (1993–1999) новый метод оценки коротких сумм Клоостермана , то есть тригонометрических сумм вида

${\displaystyle \sum \limits _{n\in A}\exp {{\biggl (}2\pi i\,{\frac {an^{*}+bn}{m}}{\biggr )}},}$

где пробегает множество чисел, взаимно простых с , число элементов , в которых существенно меньше , а символ обозначает класс конгруэнции, обратный к модулю : .${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \|A\|}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n^{*}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle nn^{*}\equiv 1(\mod m)}$

До начала 90-х годов прошлого века оценки этого типа были известны, в основном, для сумм, в которых число слагаемых было больше, чем ( Х. Д. Клоостерман , И. М. Виноградов , Х. Салье, Л. Карлитц , С. Учияма , А. Вейль ) . Единственным исключением были специальные модули вида , где - фиксированное простое число, а показатель степени возрастает до бесконечности (этот случай изучался А.Г. Постниковым с помощью метода Виноградова). Метод Карацубы позволяет оценивать суммы Клоостермана, в которых количество слагаемых не превышает ${\displaystyle {\sqrt {m}}}$${\displaystyle m=p^{\alpha }}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle m^{\varepsilon },}$

а в некоторых случаях даже

${\displaystyle \exp {\{(\ln m)^{2/3+\varepsilon }\}},}$

где - сколь угодно малое фиксированное число. Заключительная статья Карацубы на эту тему ^[25] была опубликована посмертно.${\displaystyle \varepsilon >0}$

Различные аспекты метода Карацубы нашли применение в следующих задачах аналитической теории чисел:

• нахождение асимптотики сумм дробных частей вида::  где пробегает одно за другим целые числа, удовлетворяющие условию , и пробегает простые числа, не делящие модуль (Карацуба);${\displaystyle {\sum _{n\leq x}}'{\biggl \{}{\frac {an^{*}+bn}{m}}{\biggr \}},{\sum _{p\leq x}}'{\biggl \{}{\frac {ap^{*}+bp}{m}}{\biggr \}},}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n,m)=1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle m}$

• находя нижнюю границу для числа решений неравенств вида:  : в целых числах , , взаимно простой , (Карацуб);${\displaystyle \alpha <{\biggl \{}{\frac {an^{*}+bn}{m}}{\biggr \}}\leq \beta }$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1\leq n\leq x}$${\displaystyle m}$${\displaystyle x<{\sqrt {m}}}$

• точность приближения произвольного действительного числа в отрезке дробными частями вида:${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle {\biggl \{}{\frac {an^{*}+bn}{m}}{\biggr \}},}$ : , Где , , (Карацуба);${\displaystyle 1\leq n\leq x}$${\displaystyle (n,m)=1}$${\displaystyle x<{\sqrt {m}}}$

• более точная константа в теореме Бруна – Титчмарша  :${\displaystyle c}$

${\displaystyle \pi (x;q,l)<{\frac {cx}{\varphi (q)\ln {\frac {2x}{q}}}},}$ : где - количество простых чисел , не превышающих и принадлежащих арифметической прогрессии ( J. Friedlander , H. Iwaniec );${\displaystyle \pi (x;q,l)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle p\equiv l{\pmod {q}}}$

• нижняя оценка наибольшего простого делителя произведения чисел вида:

${\displaystyle n^{3}+2}$, ( Д.Р. Хит-Браун );${\displaystyle N<n\leq 2N}$

• доказывая, что существует бесконечно много простых чисел вида:

${\displaystyle a^{2}+b^{4}}$ ( Дж. Фридлендер , Х. Иванец );

• комбинаторные свойства множества чисел:

${\displaystyle n^{*}{\pmod {m}}}$${\displaystyle 1\leq n\leq m^{\varepsilon }}$ (А.А. Глибичук).

Дзета-функция Римана [ править ]

Зеро Сельберга [ править ]

В 1984 г. Карацуба доказал ^{[26] [27],} что для фиксированного, удовлетворяющего условию , достаточно большого и , интервал содержит по крайней мере действительные нули дзета-функции Римана .${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle 0<\varepsilon <0.001}$${\displaystyle T}$${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$${\displaystyle a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}}$${\displaystyle (T,T+H)}$${\displaystyle cH\ln T}$ ${\displaystyle \zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\Bigr )}}$

Частный случай был доказан Атле Сельбергом ранее в 1942 году. ^[28] Оценки Атле Сельберга и Карацубы не могут быть улучшены в отношении порядка роста as .${\displaystyle H\geq T^{1/2+\varepsilon }}$${\displaystyle T\to +\infty }$

Распределение нулей дзета-функции Римана на коротких интервалах критической линии [ править ]

Карацуба также получил ^[29] ряд результатов о распределении нулей на «коротких» интервалах критической линии. Он доказал , что аналог гипотезы Сельберга имеет место для «почти все» интервалы , где сколь угодно малое фиксированное положительное число. Карацуба разработал (1992) новый подход к исследованию нулей дзета-функции Римана на «сверхкоротких» интервалах критической прямой, то есть на интервалах , длина которых растет медленнее любой, даже сколь угодно малой степени . В частности, он доказал, что для любых заданных чисел , удовлетворяющих условиям, почти все интервалы для${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle (T,T+H]}$${\displaystyle H=T^{\varepsilon }}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle (T,T+H]}$${\displaystyle H}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon _{1}}$${\displaystyle 0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1}$${\displaystyle (T,T+H]}$${\displaystyle H\geq \exp {\{(\ln T)^{\varepsilon }\}}}$содержат хотя бы нули функции . Эта оценка довольно близка к той, которая следует из гипотезы Римана .${\displaystyle H(\ln T)^{1-\varepsilon _{1}}}$${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$

Нули линейных комбинаций L-серии Дирихле [ править ]

Карацуба разработал новый метод ^{[30] [31]} об исследовании нулей функций , которые могут быть представлены в виде линейных комбинаций Дирихле -ряды L {\displaystyle L} . Простейшим примером функции этого типа является функция Давенпорта-Хейльбронна, определяемая равенством

${\displaystyle f(s)={\tfrac {1}{2}}(1-i\kappa )L(s,\chi )+{\tfrac {1}{2}}(1\,+\,i\kappa )L(s,{\bar {\chi }}),}$

где это неглавный характер по модулю ( , , , , , для любого ),${\displaystyle \chi }$${\displaystyle 5}$${\displaystyle \chi (1)=1}$${\displaystyle \chi (2)=i}$${\displaystyle \chi (3)=-i}$${\displaystyle \chi (4)=-1}$${\displaystyle \chi (5)=0}$${\displaystyle \chi (n+5)=\chi (n)}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}-2}{{\sqrt {5}}-1}}.}$

Для Римана гипотеза не верна, однако критическая линия все же содержит аномально много нулей.${\displaystyle f(s)}$ ${\displaystyle Re\ s={\tfrac {1}{2}}}$

Карацуба доказал (1989) , что интервал , содержит по меньшей мере ,${\displaystyle (T,T+H]}$${\displaystyle H=T^{27/82+\varepsilon }}$

${\displaystyle H(\ln T)^{1/2}e^{-c{\sqrt {\ln \ln T}}}}$

нули функции . Аналогичные результаты были получены Карацубой и для линейных комбинаций, содержащих произвольное (конечное) число слагаемых; здесь показатель степени заменяется меньшим числом , которое зависит только от формы линейной комбинации.${\displaystyle f{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle \beta }$

Граница нулей дзета-функции и многомерная задача делителей Дирихле [ править ]

Карацубе принадлежит новый прорывной результат ^[32] в многомерной задаче о делителях Дирихле, связанный с нахождением числа решений неравенства в натуральных числах as . Ведь существует асимптотическая формула вида${\displaystyle D_{k}(x)}$${\displaystyle x_{1}*\ldots *x_{k}\leq x}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k}}$${\displaystyle x\to +\infty }$${\displaystyle D_{k}(x)}$

${\displaystyle D_{k}(x)=xP_{k-1}(\ln x)+R_{k}(x)}$ ,

где - многочлен степени , коэффициенты которого зависят от и могут быть найдены явно, и - остаточный член, все известные оценки которого (до 1960 г.) имели вид${\displaystyle P_{k-1}(u)}$${\displaystyle (k-1)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle R_{k}(x)}$

${\displaystyle |R_{k}(x)|\leq x^{1-\alpha (k)}(c\ln x)^{k}}$ ,

где , - некоторые абсолютные положительные постоянные.${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{ak+b}}}$${\displaystyle a,b,c}$

Карацуба получил более точную оценку , в которой значение было порядка и уменьшалось гораздо медленнее, чем в предыдущих оценках. Оценка Карацубы едина в и ; в частности, значение может расти по мере роста (как некоторая степень логарифма ). (Похожий, но более слабый результат был получен в 1960 году немецким математиком Рихертом, работа которого оставалась неизвестной советским математикам по крайней мере до середины семидесятых годов.)${\displaystyle R_{k}(x)}$${\displaystyle \alpha (k)}$${\displaystyle k^{-2/3}}$${\displaystyle \alpha (k)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

Доказательство оценки основано на серии утверждений, по существу эквивалентных теореме о границе нулей дзета-функции Римана, полученной методом Виноградова, т. Е. Теореме о том, что нет нулей в области${\displaystyle R_{k}(x)}$${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle Re\ s\geq 1-{\frac {c}{(\ln |t|)^{2/3}(\ln \ln |t|)^{1/3}}},\quad |t|>10}$ .

Карацуба обнаружил ^[33] (2000) обратную связь оценок значений с поведением вблизи линии . В частности, он доказал, что если - произвольная невозрастающая функция, удовлетворяющая условию , такая, что для всех оценок${\displaystyle R_{k}(x)}$${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle Re\ s=1}$${\displaystyle \alpha (y)}$${\displaystyle 1/y\leq \alpha (y)\leq 1/2}$${\displaystyle k\geq 2}$

${\displaystyle |R_{k}(x)|\leq x^{1-\alpha (k)}(c\ln x)^{k}}$

выполняется, то не имеет нулей в области${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle Re\ s\geq 1-c_{1}\,{\frac {\alpha (\ln |t|)}{\ln \ln |t|}},\quad |t|\geq e^{2}}$

( некоторые абсолютные константы).${\displaystyle c,c_{1}}$

Оценки снизу максимума модуля дзета-функции в малых областях критической области и на малых интервалах критической линии [ править ]

Карацуба ввел и изучил ^[34] функции и , определяемые равенствами${\displaystyle F(T;H)}$${\displaystyle G(s_{0};\Delta )}$

${\displaystyle F(T;H)=\max _{|t-T|\leq H}{\bigl |}\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}{\bigr |},\quad G(s_{0};\Delta )=\max _{|s-s_{0}|\leq \Delta }|\zeta (s)|.}$

При этом достаточно большое положительное число, , , , . Оценка значений и снизу показывает, насколько большие (по модулю) значения могут принимать короткие интервалы критической линии или в малых окрестностях точек, лежащих в критической полосе . Этот случай ранее изучал Рамачандра; случай , когда - достаточно большая постоянная, тривиален.${\displaystyle T}$${\displaystyle 0<H\ll \ln \ln T}$${\displaystyle s_{0}=\sigma _{0}+iT}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\leq \sigma _{0}\leq 1}$${\displaystyle 0<\Delta <{\tfrac {1}{3}}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle 0\leq Re\ s\leq 1}$${\displaystyle H\gg \ln \ln T}$${\displaystyle \Delta >c}$${\displaystyle c}$

Карацуба доказал, в частности, что если значения и превышают некоторые достаточно малые константы, то оценки${\displaystyle H}$${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle F(T;H)\geq T^{-c_{1}},\quad G(s_{0};\Delta )\geq T^{-c_{2}},}$

выполнены, где - некоторые абсолютные постоянные.${\displaystyle c_{1},c_{2}}$

Поведение аргумента дзета-функции на критической линии [ править ]

Карацуба получил ряд новых результатов ^{[35] [36],} связанных с поведением функции , которая называется аргументом дзета-функции Римана на критической прямой (здесь - приращение произвольной непрерывной ветви вдоль ломаной линии, соединяющей точки и ). Среди этих результатов - теоремы о среднем значении для функции и ее первого интеграла на отрезках вещественной прямой, а также теорема, утверждающая, что каждый интервал для содержит не менее${\displaystyle S(t)={\frac {1}{\pi }}\arg {\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}}$${\displaystyle \arg {\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}}$${\displaystyle \arg \zeta (s)}$${\displaystyle 2,2+it}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+it}$${\displaystyle S(t)}$${\displaystyle S_{1}(t)=\int _{0}^{t}S(u)du}$${\displaystyle (T,T+H]}$${\displaystyle H\geq T^{27/82+\varepsilon }}$

${\displaystyle H(\ln T)^{1/3}e^{-c{\sqrt {\ln \ln T}}}}$

точки, в которых функция меняет знак. Ранее аналогичные результаты были получены Атле Сельбергом для этого случая .${\displaystyle S(t)}$${\displaystyle H\geq T^{1/2+\varepsilon }}$

Персонажи Дирихле [ править ]

Оценки коротких сумм символов в конечных полях [ править ]

В конце 60-х годов Карацуба, оценивая короткие суммы характеров Дирихле , разработал ^[37] новый метод, позволяющий получать нетривиальные оценки коротких сумм характеров в конечных полях . Пусть фиксированное целое число, многочлен, неприводимый над полем рациональных чисел, корень уравнения , соответствующее расширение поля , основа , , , . Кроме того, пусть будет достаточно большое простое число, такое , что неприводим по модулю , поле Галуа с базисом ,${\displaystyle n\geq 2}$${\displaystyle F(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle F(\theta )=0}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\theta )}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\theta )}$${\displaystyle \omega _{1}=1}$${\displaystyle \omega _{2}=\theta }$${\displaystyle \omega _{3}=\theta ^{2},\ldots ,\omega _{n}=\theta ^{n-1}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{n})}$${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\ldots ,\omega _{n}}$${\displaystyle \chi }$неглавный характер поля Дирихле . Наконец, пусть - некоторые неотрицательные целые числа, множество элементов поля Галуа ,${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{n})}$${\displaystyle \nu _{1},\ldots ,\nu _{n}}$${\displaystyle D(X)}$${\displaystyle {\bar {x}}}$${\displaystyle \mathrm {GF} (p^{n})}$

${\displaystyle {\bar {x}}=x_{1}\omega _{1}+\ldots +x_{n}\omega _{n}}$ ,

такое, что для любого , выполняются следующие неравенства:${\displaystyle i}$${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

${\displaystyle \nu _{i}<x_{i}<\nu _{i}+X}$ .

Карацуба доказал , что для любых фиксированных , и произвольного , удовлетворяющего условию${\displaystyle k}$${\displaystyle k\geq n+1}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle p^{{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4k}}}\leq X\leq p^{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4k}}}}$

справедлива следующая оценка:

${\displaystyle {\biggl |}\sum \limits _{{\bar {x}}\in D(X)}\chi ({\bar {x}}){\biggr |}\leq c{\Bigl (}X^{1-{\frac {1}{k}}}p^{{\frac {1}{4k}}+{\frac {1}{4k^{2}}}}{\Bigr )}^{\!\!n}(\ln p)^{\gamma },}$

где , а константа зависит только от основания и .${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{k}}(2^{n+1}-1)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$

Оценки линейных сумм символов по сдвинутым простым числам [ править ]

Карацуба разработал ряд новых инструментов, которые в сочетании с методом Виноградова оценки сумм с простыми числами позволили ему в 1970 г. ^[38] получить оценку суммы значений неглавного символа по модулю простого числа в последовательности сдвинутых простых чисел, а именно оценку вида${\displaystyle q}$

${\displaystyle {\biggl |}\sum \limits _{p\leq N}\chi (p+k){\biggr |}\leq cNq^{-{\frac {\varepsilon ^{2}}{1024}}},}$

где - целое число, удовлетворяющее условию , произвольно малое фиксированное число , а константа зависит только от.${\displaystyle k}$${\displaystyle k\not \equiv 0(\mod q)}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle N\geq q^{1/2+\varepsilon }}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \varepsilon }$

Это утверждение значительно сильнее оценки Виноградова, которая нетривиальна для .${\displaystyle N\geq q^{3/4+\varepsilon }}$

В 1971 году, выступая на Международной конференции по теории чисел по случаю 80-летия Ивана Матвеевича Виноградова , академик Юрий Линник отметил следующее:

« Имеет большое значение , является исследование , проведенное Виноградовым в области асимтотика характера Дирихля на сдвинутых простых числах , которые дают уменьшенной мощность по сравнению по сравнению с ,${\displaystyle \sum \limits _{p\leq N}\chi (p+k)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N\geq q^{3/4+\varepsilon }}$ , где есть модуль характера. Эта оценка имеет решающее значение, поскольку она настолько глубока, что дает больше, чем расширенная гипотеза Римана , и, кажется, в этом направлении является более глубоким фактом, чем эта гипотеза (если гипотеза верна). Недавно эту оценку улучшил А.А. Карацуба ».${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle q}$

Этот результат был распространен Карацубой на случай, когда пробегает простые числа в арифметической прогрессии, приращение которой растет с модулем .${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

Оценки сумм характеров многочленов с простым аргументом [ править ]

Карацуба нашел ^{[37] [39]} ряд оценок сумм характеров Дирихле в многочленах второй степени для случая, когда аргумент многочлена пробегает короткую последовательность следующих друг за другом простых чисел. Пусть, например, быть достаточно высоким премьером, где и целые числа, удовлетворяющее условию , и пусть обозначит символ Лежандра , то при любом фиксированном с условием и на сумму ,${\displaystyle q}$${\displaystyle f(x)=(x-a)(x-b)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle ab(a-b)\not \equiv 0(\mod q)}$${\displaystyle \left({\frac {n}{q}}\right)}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle 0<\varepsilon <{\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle N>q^{3/4+\varepsilon }}$${\displaystyle S_{N}}$

${\displaystyle S_{N}=\sum \limits _{p\leq N}{\biggl (}{\frac {f(p)}{q}}{\biggr )},}$

справедлива следующая оценка:

${\displaystyle |S_{N}|\leq c\pi (N)q^{-{\frac {\varepsilon ^{2}}{100}}}}$

(здесь пробегает последующие простые числа, это количество простых чисел, которое не превышает , и является константой, зависящей только от).${\displaystyle p}$${\displaystyle \pi (N)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \varepsilon }$

Аналогичная оценка была получена Карацубой также для случая, когда пробегает последовательность простых чисел в арифметической прогрессии, приращение которой может расти вместе с модулем .${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

Карацуба предположил, что нетривиальная оценка суммы для , которые «малы» по сравнению с , остается верной в случае, когда заменяется произвольным многочленом степени , не являющейся квадратом по модулю . Это предположение остается открытым.${\displaystyle S_{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle q}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle q}$

Нижние оценки сумм характеров многочленов [ править ]

Карацуба построил ^[40] бесконечную последовательность простых чисел и последовательность многочленов степени с целыми коэффициентами, которые не являются полным квадратом по модулю ,${\displaystyle p}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\frac {4(p-1)}{\ln p}}\leq n\leq {\frac {8(p-1)}{\ln p}},}$

и такой, что

${\displaystyle \sum \limits _{x=1}^{p}\left({\frac {f(x)}{p}}\right)=p.}$

Другими словами, для любого значение оказывается квадратичным вычетом по модулю . Этот результат показывает, что оценка Андре Вейля${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\biggl |}\sum \limits _{x=1}^{p}\left({\frac {f(x)}{p}}\right){\biggr |}\leq (n-1){\sqrt {p}}}$

не может быть существенно улучшена, и правая часть последнего неравенства не может быть заменена, скажем, значением , где - абсолютная константа.${\displaystyle C{\sqrt {n}}{\sqrt {p}}}$${\displaystyle C}$

Суммы символов в аддитивных последовательностях [ править ]

Карацуба нашел новый метод ^[41], позволяющий получать достаточно точные оценки сумм значений неглавных характеров Дирихле на аддитивных последовательностях, то есть на последовательностях, состоящих из чисел вида , где переменные и пробегают некоторые наборы и независимо друг от друга. Наиболее характерным примером такого рода является следующее утверждение, которое применяется при решении широкого класса задач, связанных с суммированием значений символов Дирихле. Пусть сколь угодно малое фиксированное число, , достаточно большое простое число, неглавный характер по модулю . Кроме того, пусть и${\displaystyle x+y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle 0<\varepsilon <{\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle q}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$произвольные подмножества полной системы конгруэнции классов по модулю , удовлетворяющих только условия , . Тогда справедлива следующая оценка:${\displaystyle q}$${\displaystyle \|A\|>q^{\varepsilon }}$${\displaystyle \|B\|>q^{1/2+\varepsilon }}$

${\displaystyle {\biggl |}\sum \limits _{x\in A}\sum \limits _{y\in B}\chi (x+y){\biggr |}\leq c\|A\|\cdot \|B\|q^{-{\frac {\varepsilon ^{2}}{20}}},\quad c=c(\varepsilon )>0.}$

Метод Карацубы позволяет получить нетривиальные оценки такого рода в некоторых других случаях , когда условия для множеств и , сформулированных выше, заменяются на разных, например: ,${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \|A\|>q^{\varepsilon }}$${\displaystyle {\sqrt {\|A\|}}\cdot \|B\|>q^{1/2+\varepsilon }.}$

В случае , когда и является множество простых чисел в интервалах , соответственно, где , , оценка вида${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle (1,X]}$${\displaystyle (1,Y]}$${\displaystyle X\geq q^{1/4+\varepsilon }}$${\displaystyle Y\geq q^{1/4+\varepsilon }}$

${\displaystyle {\biggl |}\sum \limits _{p\leq X}\sum \limits _{p'\leq Y}\chi (p+p'){\biggr |}\leq c\pi (X)\pi (Y)q^{-c_{1}\varepsilon ^{2}},}$