Антиплоскостной сдвиг

Антиплоскостной сдвиг или антиплоскостная деформация ^[1] - это особое состояние деформации тела. Это состояние деформации достигается, когда смещения в теле равны нулю в интересующей плоскости, но отличны от нуля в направлении, перпендикулярном плоскости. Для малых деформаций тензор деформации при антиплоском сдвиге можно записать как

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\begin{bmatrix}0&0&\epsilon _{13}\\0&0&\epsilon _{23}\\\epsilon _{13}&\epsilon _{23}&0\end{bmatrix}}}$

где плоскость представляет собой интересующую плоскость, а направление перпендикулярно этой плоскости.${\displaystyle 12\,}$${\displaystyle 3\,}$

Смещения [ править ]

Поле смещения, которое приводит к состоянию антиплоского сдвига, равно (в прямоугольных декартовых координатах)

${\displaystyle u_{1}=u_{2}=0~;~~u_{3}={\hat {u}}_{3}(x_{1},x_{2})}$

где - смещения по направлениям.${\displaystyle u_{i},~i=1,2,3}$${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}\,}$

Подчеркивает [ править ]

Для изотропного , линейного упругого материала, то напряжение тензор, результаты от состояния антиплоского сдвига может быть выражены как

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&\mu ~{\cfrac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\\0&0&\mu ~{\cfrac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\\\mu ~{\cfrac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}&\mu ~{\cfrac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}&0\end{bmatrix}}}$

где - модуль сдвига материала.${\displaystyle \mu \,}$

Уравнение равновесия для антиплоского сдвига [ править ]

Сохранение количества движения при отсутствии сил инерции принимает форму уравнения равновесия . Для общих напряженных состояний существует три уравнения равновесия. Однако для антиплоского сдвига, если предположить, что объемные силы в направлениях 1 и 2 равны 0, они сводятся к одному уравнению равновесия, которое выражается как

${\displaystyle \mu ~\nabla ^{2}u_{3}+b_{3}(x_{1},x_{2})=0}$

где - объемная сила в направлении и . Обратите внимание, что это уравнение действительно только для бесконечно малых деформаций.${\displaystyle b_{3}}$${\displaystyle x_{3}}$${\displaystyle \nabla ^{2}u_{3}={\cfrac {\partial ^{2}u_{3}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\cfrac {\partial ^{2}u_{3}}{\partial x_{2}^{2}}}}$

Приложения [ править ]

Допущение антиплоскостного сдвига используется для определения напряжений и смещений из-за винтовой дислокации .

Ссылки [ править ]

См. Также [ править ]

• Теория бесконечно малых деформаций
• Деформация (механика)