В математике фразы « произвольно большой» , « сколь угодно малый» и « сколь угодно длинный» используются в утверждениях, чтобы прояснить тот факт, что объект большой, маленький и длинный с небольшими ограничениями или ограничениями соответственно. [1] Использование слова «произвольно» часто встречается в контексте действительных чисел (и их подмножеств ), хотя его значение может отличаться от значений «достаточно» и «бесконечно».
Примеры [ править ]
Заявление
- " неотрицательно при произвольно большом ".
это сокращение для:
- «Для каждого вещественного числа , неотрицательна для некоторого значения больше , чем .»
В просторечии термин «произвольно длинный» часто используется в контексте последовательности чисел. Например, утверждение, что существуют «сколь угодно длинные арифметические прогрессии простых чисел », не означает, что существует какая-либо бесконечно длинная арифметическая прогрессия простых чисел (ее нет) или что существует какая-либо конкретная арифметическая прогрессия простых чисел, которая в каком-то смысле «сколь угодно долго». Скорее, эта фраза используется для обозначения того факта, что независимо от того, насколько велико число , существует некоторая арифметическая прогрессия простых чисел, по крайней мере, длины . [2]
Подобно произвольно большим, можно также определить фразу « справедливо для произвольно малых действительных чисел» следующим образом: [3]
Другими словами:
- Каким бы малым ни было число, будет число меньшее, чем оно, такое, которое имеет место.
Произвольно большой против достаточно большого против бесконечно большого [ править ]
Хотя это похоже, «произвольно большой» не эквивалентен « достаточно большой ». Например, хотя верно, что простые числа могут быть сколь угодно большими (поскольку их бесконечно много из-за теоремы Евклида ), неверно, что все достаточно большие числа являются простыми.
Другой пример: утверждение « неотрицательно для произвольно больших ». можно переписать как:
Однако, используя « достаточно большой », та же фраза становится:
Кроме того, «произвольно большой» также не означает « бесконечно большой ». [1] Например, хотя простые числа могут быть сколь угодно большими, бесконечно большого простого числа не существует, поскольку все простые числа (как и все другие целые числа) конечны.
В некоторых случаях такие фразы, как «утверждение верно для произвольно большого », используются в первую очередь для акцента, например, « верно для всех , независимо от того, насколько велико ». В этих случаях фраза «произвольно большой» не имеет значения, указанного выше (т. Е. «Каким бы большим ни было число, будет некоторое большее число, для которого все еще сохраняется» [4] ). Вместо этого использование в этом случае фактически является синонимом слова «все».
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ a b «Окончательный словарь высшего математического жаргона - произвольно» . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 19 ноября 2019 .
- ^ 4 Произвольно большие данные. Архивировано 22 февраля 2012 г. в Wayback Machine, доступ осуществлен 21 февраля 2012 г.
- ^ «Определение: произвольно маленький - ProofWiki» . proofwiki.org . Проверено 19 ноября 2019 .
- ^ «Определение: произвольно большой - ProofWiki» . proofwiki.org . Проверено 19 ноября 2019 .