Простые числа в арифметической прогрессии
В теории чисел простые числа в арифметической прогрессии — это любая последовательность , состоящая как минимум из трех простых чисел , которые являются последовательными членами арифметической прогрессии . Примером может служить последовательность простых чисел (3, 7, 11), которая задается для .
Согласно теореме Грина-Тао существуют сколь угодно длинные последовательности простых чисел в арифметической прогрессии. Иногда эта фраза также может использоваться в отношении простых чисел, принадлежащих арифметической прогрессии, которая также содержит составные числа. Например, это может быть использовано о простых числах в арифметической прогрессии вида , где a и b взаимно просты , которые, согласно теореме Дирихле об арифметических прогрессиях , содержат бесконечно много простых чисел, а также бесконечно много составных чисел.
Для целого числа k ≥ 3 AP - k (также называемая PAP- k ) — это любая последовательность из k простых чисел в арифметической прогрессии. AP - k может быть записан как k простых чисел формы a · n + b для фиксированных целых чисел a (называемых общей разностью) и b и k последовательных целых значений n . AP- k обычно выражается с n = 0 до k - 1. Этого всегда можно достичь, определив bбыть первым простым числом в арифметической прогрессии.
Любая заданная арифметическая прогрессия простых чисел имеет конечную длину. В 2004 году Бен Дж. Грин и Теренс Тао разрешили старую гипотезу , доказав теорему Грина-Тао : простые числа содержат произвольно длинные арифметические прогрессии. [1] Отсюда немедленно следует, что существует бесконечно много AP- k для любого k .
Если AP- k не начинается с простого k , то общая разность кратна простому k # = 2 · 3 · 5 · ... · j , где j – наибольшее простое число ≤ k .
Это также показывает, что AP с общей разностью a не может содержать больше последовательных простых членов, чем значение наименьшего простого числа, которое не делит a .