Ассоциативный магический квадрат

В квадрате Ло Шу пары противоположных чисел составляют 10

Деталь из Меленколии I, показывающая ассоциативный квадрат

{\ displaystyle 4 \ times 4}

Ассоциативный квадрат магии является магическим квадратом , для которых каждая пару чисел симметрично напротив центр подытожить к тому же значению. Для квадрата, заполненного числами от до , эта общая сумма должна быть равна . Эти квадраты также называются связанными магическими квадратами , обычными магическими квадратами , регмагическими квадратами или симметричными магическими квадратами . ^[1]^[2]^[3] ${\ Displaystyle п \ раз п}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ Displaystyle п ^ {2}}$ ${\ Displaystyle п ^ {2} +1}$

Примеры [ править ]

Например, квадрат Ло Шу , уникальный магический квадрат, является ассоциативным, потому что каждая пара противоположных точек вместе с центральной точкой образуют линию квадрата, поэтому сумма двух противоположных точек равна сумме линии минус значение центральной точки независимо от того, какие две противоположные точки выбраны. ^[4] магический квадрат от Альбрехта Дюрера «s 1514 гравирования Melencolia I , также найден в 1765 письме Бенджамин Франклин , также ассоциативно, с каждой парой противоположных чисел суммирующих до 17. ^[5] ${\ displaystyle 3 \ times 3}$ ${\ displaystyle 4 \ times 4}$

Существование и перечисление [ править ]

Число возможных ассоциативных магических квадратов , если считать два квадрата одинаковыми, если они отличаются только поворотом или отражением, составляет: ${\ Displaystyle п \ раз п}$ ${\ Displaystyle п = 3,4,5, \ точки}$

1, 48, 48544, 0, 1125154039419854784, ... (последовательность A081262 в OEIS )

Число ноль в позиции для ассоциативных магических квадратов является примером более общего явления: эти квадраты не существуют для значений, которые являются одиночно четными (то есть равными 2 по модулю 4). ^[3] Каждый ассоциативный магический квадрат четного порядка образует особую матрицу , но ассоциативные магические квадраты нечетного порядка могут быть сингулярными или невырожденными. ^[4] ${\ displaystyle 6 \ times 6}$ ${\ displaystyle n}$

Ссылки [ править ]

^ Фриерсон, LS (1917), «Заметки о пандиагональных и связанных магических квадратах» , в Andrews, WS (ed.), Magic Squares and Cubes (2-е изд.), Open Court, стр. 229–244
^ Белл, Иордания; Стивенс, Brett (2007), "Построение ортогональных латинских квадратов pandiagonal и panmagic квадраты из модульных -queens решений", журнал комбинаторной Designs , 15 (3): 221-234, DOI : 10.1002 / jcd.20143 , MR 2311190 ${\ displaystyle n}$
^ a b Нордгрен, Рональд П. (2012), «О свойствах специальных матриц магических квадратов», Линейная алгебра и ее приложения , 437 (8): 2009–2025, DOI : 10.1016 / j.laa.2012.05.031 , MR 2950468
^ а б Ли, Майкл З .; С любовью, Элизабет; Нараян, Шиварам К .; Вашер, Элизабет; Уэбстер, Джордан Д. (2012), "О невырожденных регулярных волшебных квадратов нечетного порядка", Линейная алгебра и ее применения , 437 (6): 1346-1355, DOI : 10.1016 / j.laa.2012.04.004 , МР 2942355
^ Pasles, Paul C. (2001), "Потерянные квадраты доктора Франклина: Бен Франклин недостающие квадраты и секрет магического круга", American Mathematical Monthly , 108 (6): 489-511, DOI : 10,1080 / +00029890,2001 .11919777 , JSTOR 2695704 , Руководство по ремонту 1840656

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. , «Ассоциативный магический квадрат» , MathWorld

[andrews-1] Фриерсон, LS (1917), «Заметки о пандиагональных и связанных магических квадратах» , в Andrews, WS (ed.), Magic Squares and Cubes (2-е изд.), Open Court, стр. 229–244

[belste-2] Белл, Иордания; Стивенс, Brett (2007), "Построение ортогональных латинских квадратов pandiagonal и panmagic квадраты из модульных -queens решений", журнал комбинаторной Designs , 15 (3): 221-234, DOI : 10.1002 / jcd.20143 , MR 2311190 ${\ displaystyle n}$

[nordgren-3] Нордгрен, Рональд П. (2012), «О свойствах специальных матриц магических квадратов», Линейная алгебра и ее приложения , 437 (8): 2009–2025, DOI : 10.1016 / j.laa.2012.05.031 , MR 2950468

[llnww-4] а б Ли, Майкл З .; С любовью, Элизабет; Нараян, Шиварам К .; Вашер, Элизабет; Уэбстер, Джордан Д. (2012), "О невырожденных регулярных волшебных квадратов нечетного порядка", Линейная алгебра и ее применения , 437 (6): 1346-1355, DOI : 10.1016 / j.laa.2012.04.004 , МР 2942355

[pasles-5] Pasles, Paul C. (2001), "Потерянные квадраты доктора Франклина: Бен Франклин недостающие квадраты и секрет магического круга", American Mathematical Monthly , 108 (6): 489-511, DOI : 10,1080 / +00029890,2001 .11919777 , JSTOR 2695704 , Руководство по ремонту 1840656

[1]