Аксиальность (геометрия)

В геометрии евклидовой плоскости , axiality является мерой того , насколько осевой симметрии формы имеет. Он определяется как отношение площадей наибольшего аксиально-симметричного подмножества формы ко всей форме. Эквивалентно, это наибольшая часть площади формы, которая может быть покрыта зеркальным отражением формы (с любой ориентацией).

Форма, которая сама по себе является осесимметричной, например равнобедренный треугольник , будет иметь ось ровно единицу, тогда как асимметричная форма, такая как разносторонний треугольник , будет иметь ось меньше единицы.

Верхняя и нижняя границы [ править ]

Лассак (2002) показал, что каждое выпуклое множество имеет ось не менее 2/3. ^[1] Этот результат улучшил предыдущую нижнюю оценку 5/8 Краковского (1963) . ^[2] Наилучшая известная верхняя граница дается конкретным выпуклым четырехугольником , найденным с помощью компьютерного поиска, ось которого меньше 0,816. ^[3]

Для треугольников и центрально-симметричных выпуклых тел ось всегда несколько выше: каждый треугольник и каждое центрально-симметричное выпуклое тело имеет по крайней мере ось . В наборе тупых треугольников, вершины которых имеют -координаты , и , аксиальность приближается в пределе, когда -координаты приближаются к нулю, показывая, что нижняя граница максимально велика. Также возможно построить последовательность центрально-симметричных параллелограммов , ось которых имеет тот же предел, что снова показывает, что нижняя граница является точной. ^{[4] [5]}${\ displaystyle 2 ({\ sqrt {2}} - 1) \ приблизительно 0,828}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle 2 ({\ sqrt {2}} - 1)}$${\ displaystyle y}$

Алгоритмы [ править ]

Оси данной выпуклой формы можно сколь угодно точно аппроксимировать в сублинейном времени, учитывая доступ к форме оракулам для нахождения крайней точки в заданном направлении и для нахождения пересечения формы с линией. ^[6]

Барекет и Рогол (2007) рассматривают проблему точного вычисления аксиальности как для выпуклых, так и для невыпуклых многоугольников. Множество всех возможных линий симметрии отражения на плоскости представляет собой (по проективной двойственности ) двумерное пространство, которое они разбивают на ячейки, внутри которых фиксируется схема пересечения многоугольника с его отражением, в результате чего ось плавно изменяется в пределах каждая ячейка. Таким образом, они сводят проблему к числовому вычислению в каждой ячейке, которое они не решают явно. Разбиение плоскости на ячейки в общем случае имеет ячейки, причем${\ Displaystyle О (п ^ {4})}$${\ Displaystyle О (п ^ {3})}$ячейки для выпуклых многоугольников; его можно построить за время, превышающее эти границы на логарифмический коэффициент. Барекет и Роголь утверждают, что на практике задача максимизации площади в пределах одной ячейки может быть решена во времени, давая (нестрогие) общие временные границы для выпуклого случая и для общего случая. ^[7]${\ Displaystyle О (п)}$${\ Displaystyle О (п ^ {4})}$${\ Displaystyle О (п ^ {5})}$

Понятия, связанные с данным [ править ]

де Валькур (1966) перечисляет 11 различных мер осевой симметрии, из которых описанная здесь третья. ^[8] Он требует, чтобы каждая такая мера была инвариантной относительно преобразований подобия данной формы, принимала значение один для симметричных форм и принимала значение от нуля до единицы для других форм. Другие меры симметрии с этими свойствами включают отношение площади формы к ее наименьшему охватывающему симметричному надмножеству и аналогичные отношения периметров.

Лассак (2002) , наряду с изучением аксиальности, изучает ограниченную версию аксиальности, в которой цель состоит в том, чтобы найти полупространство, пересечение которого с выпуклой формой имеет большую площадь, полностью лежащую в пределах отражения формы через границу полупространства. Он показывает, что такое пересечение всегда может иметь площадь не менее 1/8 площади всей формы. ^[1]

При изучении компьютерного зрения , Marola (1989) предложил измерить симметрию цифрового изображения (рассматриваются как функция от точек в плоскости шкалы серых значений интенсивности в интервале ), находя отражение , которое максимизирует интеграл области ^[9]${\ displaystyle w}$${\ Displaystyle 0 \ Leq W (р) \ Leq 1}$${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle {\ frac {\ int \ int w (p) w (\ sigma (p)) dx \, dy} {\ int \ int w (p) ^ {2} dx \, dy}}.}$

Когда является индикаторной функцией данной формы, это то же самое, что и ось.${\ displaystyle w}$

Ссылки [ править ]