Двойственность (проективная геометрия)

В геометрии поразительной особенностью проективных плоскостей является симметрия ролей, которые играют точки и линии в определениях и теоремах, а ( плоская ) двойственность является формализацией этого понятия. Есть два подхода к предмету двойственности: один через язык ( § Принцип двойственности ), а другой - более функциональный подход через специальные отображения . Они полностью эквивалентны, и любое лечение имеет своей отправной точкой аксиоматику.вариант рассматриваемой геометрии. В функциональном подходе существует карта между взаимосвязанными геометриями, которая называется двойственностью . Такую карту можно построить разными способами. Концепция плоской двойственности легко распространяется на двойственность пространства, а за ее пределы - на двойственность в любой конечномерной проективной геометрии .

Принцип двойственности [ править ]

Проективная плоскость С может быть определена аксиоматически как структура заболеваемости , в терминах множества P из точек , множества L из линий , и отношение инцидентности I , который определяет , какие точки лежат на какие линии. Эти наборы можно использовать для определения плоской дуальной конструкции .

Поменять местами «точки» и «линии» в

С = ( P , L , I)

для получения дуальной структуры

C ^∗ = ( L , P , I ^∗ ) ,

где I ^* есть обратное соотношение из I . C ^* также проективная плоскость, называется двойной плоскости из C .

Если C и C ^∗ изоморфны, то C называется самодуальным . Проективная плоскость PG (2, К ) для любого поля (или, в более общем случае , для каждого деления кольца (skewfield) изоморфен двойственным) К самодвойственна. В частности, дезарговы плоскости конечного порядка всегда самодвойственны. Однако есть недезарговские планы, которые не являются самодвойственными, например, планы Холла, и некоторые из них, например, планы Хьюза .

В проективной плоскости утверждение, включающее точки, линии и инцидентность между ними, которое получается из другого такого утверждения путем замены слов «точка» и «линия» и внесения любых необходимых грамматических корректировок, называется плоским двойственным утверждением первого утверждения. . Плоское двойственное утверждение «Две точки находятся на единственной прямой» - это «Две прямые пересекаются в единственной точке». Формирование плоского двойственного высказывания называется дуализирующим высказыванием.

Если утверждение верно в проективной плоскости C , то плоскость, двойственная к этому утверждению, должна быть верна в двойственной плоскости C ^∗ . Это следует из того, что дуализация каждого утверждения доказательства «в C » дает соответствующее утверждение доказательства «в C ^∗ ».

Принцип двойственности плоскости говорит , что дуализирующий любой теорему в самодуальном проективной плоскости С дает еще одну теоремы , действующее на С . ^[1]

Вышеупомянутые концепции могут быть обобщены, чтобы говорить о двойственности пространства, где термины «точки» и «плоскости» меняются местами (а линии остаются линиями). Это приводит к принципу пространственной двойственности . ^[1]

Эти принципы дают вескую причину для предпочтения использования «симметричного» термина для отношения инцидентности. Таким образом, вместо того, чтобы говорить «точка лежит на линии», следует говорить «точка инцидентна линии», поскольку дуализация последней включает только замену точки и линии местами («линия инцидентна точке»). ^[2]

Справедливость принципа двойственности плоскости следует из аксиоматического определения проективной плоскости. Три аксиомы этого определения могут быть записаны так, что они являются самодуальными утверждениями, подразумевающими, что двойственное к проективной плоскости также является проективной плоскостью. Таким образом, дуальное к истинному утверждению в проективной плоскости является истинным утверждением в дуальной проективной плоскости, а импликация состоит в том, что для самодвойственных плоскостей дуальное к истинному утверждению в этой плоскости также является истинным утверждением в этой плоскости. ^[3]

Двойственные теоремы [ править ]

В качестве вещественной проективной плоскости , PG (2, R ) , самодвойственно есть число пар хорошо известные результатов , которые являются двойственными друг с другом. Вот некоторые из них:

• Теорема Дезарга ⇔ Обращение к теореме Дезарга
• Теорема Паскаля ⇔ Теорема Брианшона
• Теорема Менелая ⇔ теорема Чевы

Двойные конфигурации [ править ]

Не только утверждения, но и системы точек и линий могут быть дуализированы.

Набор из m точек и n прямых называется ( m _c , n _d ) конфигурацией, если c из n прямых проходят через каждую точку и d из m точек лежат на каждой прямой. Двойственная конфигурация ( m _c , n _d ) - это конфигурация ( n _d , m _c ) . Таким образом, двойственное четырехугольнику a (4 ₃ , 6 ₂) конфигурация четырех точек и шести линий, представляет собой четырехугольник, конфигурация (6 ₂ , 4 ₃ ) из шести точек и четырех линий. ^[4]

Множество всех точек на прямой, называемое проективным диапазоном, имеет двойственный пучок прямых , набор всех прямых в точке.

Двойственность как отображение [ править ]

Плоские дуальности [ править ]

Плоскость двойственность является отображением из проективной плоскости С = ( Р , L , I) , к его двойной плоскости С ^* = ( L , P , I ^* ) (см § Принцип двойственности выше) , который сохраняет частоту . То есть плоская двойственность σ будет отображать точки в прямые, а прямые в точки ( P ^σ = L и L ^σ = P ) таким образом, что если точка Q находится на прямой m (обозначаетсяQ I m ), то Q I m ⇔ m ^σ I ^∗ Q ^σ . Плоская двойственность, являющаяся изоморфизмом, называется корреляцией . ^[5] Существование корреляции означаетчто проективная плоскость С является автодуальным .

Проективная плоскость C в этом определении не обязательно должна быть дезарговой . Однако, если она есть, то есть, C = PG (2, К ) с K тело (skewfield), то двойственность, как определено ниже для общих проективных пространств , дает плоскую двойственность на C , которая удовлетворяет выше определение.

В общих проективных пространствах [ править ]

Двойственности δ из проективного пространства является перестановкой из подпространств PG ( п , К ) (также обозначаемых К Р ^н ) с K в поле (или в более общем случае skewfield ( деление кольцо )) , что реверсирует включение, ^[6] то есть:

S ⊆ T влечет S ^δ ⊇ T ^δ для всех подпространств S , T в PG ( n , K ) . ^[7]

Следовательно, двойственность меняет местами объекты размерности r с объектами размерности n - 1 - r (= коразмерность r + 1 ). То есть в проективном пространстве размерности n точки (размерность 0) соответствуют гиперплоскостям (коразмерность 1), линии, соединяющие две точки (размерность 1), соответствуют пересечению двух гиперплоскостей (коразмерность 2) и т. Д.

Классификация дуальностей [ править ]

Двойной V ^* конечный-мерный (справа) векторное пространство V над skewfield K можно рассматривать как (справа) векторное пространство той же размерность над противоположной skewfield К ^о . Таким образом, существует обратящая включение биекция между проективными пространствами PG ( n , K ) и PG ( n , K ^o ) . Если K и K ^o изоморфны, то на PG ( n , K ) существует двойственность . Наоборот, если PG (n , K ) допускает двойственность при n > 1 , то K и K ^o изоморфны.

Пусть π - двойственность PG ( n , K ) при n > 1 . Если π составлен с естественным изоморфизмом между PG ( n , K ) и PG ( n , K ^o ) , композиция θ является сохраняющей инцидентность биекцией между PG ( n , K ) и PG ( n , K ^o ) . По основной теореме проективной геометрии θ индуцируетсяполулинейная карта T : V → V ^* с соответствующим изоморфизмом сгом : К → К ^О , которые можно рассматривать как антиавтоморфизм из K . В классической литературе π в целом будет называться взаимностью , а если σ = id - корреляцией (и K обязательно будет полем ). Некоторые авторы подавляют роль естественного изоморфизма и называют θ двойственностью. ^[8]Когда это будет сделано, двойственность может рассматриваться как коллинеация между парой специально связанных проективных пространств и названа взаимностью. Если эта коллинеация является проективностью, то это называется корреляцией.

Пусть Т _ш = Т ( ш ) обозначим линейный функционал из V ^* , связанный с вектором ш в V . Определим форму φ : V × V → K следующим образом:

${\ Displaystyle \ varphi (v, w) = T_ {w} (v).}$

φ - невырожденная полуторалинейная форма с сопутствующим антиавтоморфизмом σ .

Любая двойственность PG ( n , K ) для n > 1 индуцируется невырожденной полуторалинейной формой на нижележащем векторном пространстве (с сопутствующим антиавтоморфизмом) и наоборот.

Однородная формулировка координат [ править ]

Однородные координаты могут использоваться для алгебраического описания двойственности. Чтобы упростить это обсуждение, мы предположим, что K - поле , но все может быть сделано таким же образом, когда K - тело, при условии, что внимание уделяется тому факту, что умножение не обязательно должно быть коммутативной операцией.

Точки PG ( n , K ) могут быть взяты как ненулевые векторы в ( n + 1 ) -мерном векторном пространстве над K , где мы идентифицируем два вектора, которые отличаются скалярным множителем. Другими словами, точки n- мерного проективного пространства - это одномерные векторные подпространства , которые можно визуализировать как линии, проходящие через начало координат в K ^{n +1} . ^[9] Также n - (векторные) размерные подпространства в K ^{n +1} представляют ( n - 1) - (геометрические) размерные гиперплоскости проективного n -пространства над K , т. е. PG ( n , K ) .

Ненулевой вектор u = ( u ₀ , u ₁ , ..., u _n ) в K ^{n +1} также определяет ( n - 1) - геометрическое подпространство (гиперплоскость) H _u , по _{формуле}

H _u = {( x ₀ , x ₁ , ..., x _n ): u ₀ x ₀ + ... + u _n x _n = 0} .

Когда вектор U используется для определения гиперплоскости в этом случае оно должно обозначать через U _H , а если она обозначая точку мы будем использовать U _P . Они называются координатами точки или координатами гиперплоскости соответственно (в важном двумерном случае координаты гиперплоскости называются линейными координатами ). Некоторые авторы различают способ интерпретации вектора, записывая координаты гиперплоскости как горизонтальные (строчные) векторы, в то время как координаты точек записываются как вертикальные (столбцовые) векторы. Таким образом, если u - вектор-столбец, мы имели бы u _P = u, а u_Н = у ^Т . С точки зрения обычного скалярного произведения , Н _у = { х _Р  : у _Н ⋅ х _Р = 0} . Поскольку K - поле, скалярное произведение симметрично, то есть u _H ⋅ x _P = u ₀ x ₀ + u ₁ x ₁ + ... + u _n x _n = x ₀ u ₀ + x ₁ u ₁+ ... х _п у _п = х _Н ⋅ у _Р .

Фундаментальный пример [ править ]

Простая взаимность (на самом деле корреляция) может быть задана u _P ↔ u _H между точками и гиперплоскостями. Это распространяется на взаимность между линией, образованной двумя точками, и пересечением двух таких гиперплоскостей и т. Д.

В частности, в проективной плоскости , PG (2, K ) , с K поля, мы имеем корреляцию по формуле: точки в однородных координатах ( , Ь , гр ) ↔ линию с уравнениями ах + с + CZ = 0 . В проективном пространстве PG (3, K ) корреляция задается: точками в однородных координатах ( a , b , c , d ) ↔ плоскостями с уравнениями ax+ по + cz + dw = 0 . Эта корреляция также отобразит линию, определенную двумя точками ( a ₁ , b ₁ , c ₁ , d ₁ ) и ( a ₂ , b ₂ , c ₂ , d ₂ ), на линию, которая является пересечением двух плоскостей с уравнения a ₁ x + b ₁ y + c ₁ z + d₁ ш = 0 и ₂ х + б ₂ у + с ₂ г + д ₂ ш = 0 .

Соответствующая полуторалинейная форма этой корреляции:

φ ( u , x ) = u _H ⋅ x _P = u ₀ x ₀ + u ₁ x ₁ + ... + u _n x _n ,

где сопутствующий антиавтоморфизм σ = id . Следовательно, это билинейная форма (обратите внимание, что K должно быть полем). Это можно записать в матричной форме (относительно стандартного базиса) как:

φ ( u , x ) = u _H G x _P ,

где G - это ( n + 1) × ( n + 1) единичная матрица , согласно соглашению, что u _H - вектор-строка, а x _P - вектор-столбец.

Корреляция выражается следующим образом:

${\ displaystyle \ pi (\ mathbf {x} _ {P}) = (G \ mathbf {x} _ {P}) ^ {\ mathsf {T}} = (\ mathbf {x} _ {P}) ^ {\ mathsf {T}} = \ mathbf {x} _ {H}.}$

Геометрическая интерпретация в реальной проективной плоскости [ править ]

Это соотношение в случае PG (2, R ) может быть описано в геометрической прогрессии с использованием модели в вещественной проективной плоскости , которая является «единичной сферой с антиподами ^[10] определен», или , что эквивалентно, модель линий и плоскостей через начало координат векторного пространства R ³ . Свяжите с любой линией, проходящей через начало координат, уникальную плоскость, проходящую через начало координат, которая перпендикулярна (ортогональна) прямой. Когда в модели эти прямые считаются точками, а плоскости - прямыми проективной плоскости PG (2, R )эта ассоциация становится корреляцией (фактически полярностью) проективной плоскости. Модель сферы получается путем пересечения линий и плоскостей через начало координат с единичной сферой с центром в начале координат. Прямые пересекаются со сферой в противоположных точках, которые затем должны быть идентифицированы, чтобы получить точку проективной плоскости, а плоскости пересекаются со сферой в больших окружностях, которые, таким образом, являются линиями проективной плоскости.

То, что эта ассоциация «сохраняет» заболеваемость, легче всего увидеть из модели линий и плоскостей. Точка, падающая на линию в проективной плоскости, соответствует прямой, проходящей через начало координат, лежащей в плоскости, проходящей через начало координат в модели. Применяя ассоциацию, плоскость становится линией, проходящей через начало координат, перпендикулярной плоскости, с которой она связана. Эта линия изображения перпендикулярна каждой линии плоскости, проходящей через начало координат, в частности исходной линии (точке проективной плоскости). Все линии, которые перпендикулярны исходной линии в начале координат, лежат в уникальной плоскости, которая ортогональна исходной линии, то есть плоскости изображения под ассоциацией. Таким образом, линия изображения лежит в плоскости изображения, и ассоциация сохраняет инцидентность.

Матричная форма [ править ]

Как и в приведенном выше примере, матрицы могут использоваться для представления двойственности. Пусть π быть двойственность PG ( п , К ) для п > 1 , и пусть φ быть связаны полуторалинейная формой (с компаньоном антиавтоморфизма сг ) на нижележащей ( п + 1 ) n - мерного векторного пространства V . Учитывая базис { е _я } из V , мы можем представить эту форму:

${\ displaystyle \ varphi (\ mathbf {u}, \ mathbf {x}) = \ mathbf {u} ^ {\ mathsf {T}} G ​​(\ mathbf {x} ^ {\ sigma}),}$

где G - невырожденная матрица ( n + 1) × ( n + 1) над K, а векторы записываются как векторы-столбцы. Обозначение x ^σ означает, что антиавтоморфизм σ применяется к каждой координате вектора x .

Теперь определите двойственность в терминах координат точки:

${\ displaystyle \ pi (\ mathbf {x}) = (G (\ mathbf {x} ^ {\ sigma})) ^ {\ mathsf {T}}.}$

Полярность [ править ]

Дуальность, которая является инволюцией (имеет второй порядок), называется полярностью . Необходимо различать полярности общих проективных пространств и те, которые возникают из несколько более общего определения плоской двойственности. Также можно дать более точные утверждения в случае конечной геометрии , поэтому мы будем подчеркивать результаты в конечных проективных плоскостях.

Полярности общих проективных пространств [ править ]

Если π - двойственность PG ( n , K ) , а K - тело, то общее обозначение определяется формулой π ( S ) = S ^⊥ для подпространства S в PG ( n , K ) . Следовательно, полярность - это двойственность, для которой S ^⊥⊥ = S для любого подпространства S в PG ( n , K ) . Также часто не упоминается двойное пространство и пишется в терминах связанной полуторалинейной формы:

${\ displaystyle S ^ {\ bot} = \ {\ mathbf {u} {\ text {in}} V \ двоеточие \ varphi (\ mathbf {u}, \ mathbf {x}) = 0 {\ text {для всех }} \ mathbf {x} {\ text {in}} S \}.}$

Форма полуторалинейной φ является рефлексивной , если φ ( U , х ) = 0 означает , φ ( х , у ) = 0 .

Двойственность является полярностью тогда и только тогда, когда (невырожденная) полуторалинейная форма, определяющая ее, является рефлексивной. ^[11]

Полярности были классифицированы в результате работы Биркгофа и фон Неймана (1936) , которая неоднократно подтверждалась. ^{[11] [12] [13]} Пусть V - (левое) векторное пространство над телом K, а φ - рефлексивная невырожденная полуторалинейная форма на V с сопутствующим антиавтоморфизмом σ . Если φ - полуторалинейная форма, связанная с полярностью, то либо:

1. σ = id (следовательно, K - поле) и φ ( u , x ) = φ ( x , u ) для всех u , x в V , то есть φ - билинейная форма. В этом случае полярность называется ортогональной (или обыкновенной ). Если характеристика поля K равна двум, то в этом случае должен существовать вектор z с φ ( z , z ) ≠ 0 , а полярность называетсяпсевдополярность . ^[14]
2. σ = идентификатор (следовательно, К является полем) и φ ( U , U ) = 0 для всех у в V . Полярность называется нулевой полярностью (или симплектической полярностью ) и может существовать только тогда, когда проективная размерность n нечетна.
3. сг ² = Id ≠ сг (здесь K не обязательно должен быть полем) и φ ( U , х ) = φ ( х , у ) ^сг для всех ц , х в V . Такая полярность называется унитарной полярностью (или эрмитовой полярностью ).

Точка P в PG ( n , K ) является абсолютной точкой (самосопряженной точкой) относительно полярности ⊥, если P I P ^⊥ . Аналогичным образом , гиперплоскость Н является абсолютной гиперплоскостью (самосопряженная гиперплоскость) , если Н ^⊥ I H . Другими словами, точка x является абсолютной точкой полярности π с соответствующей полуторалинейной формой φ, если φ ( x , x ) = 0 и еслиφ записывается в терминах матрицы G , x ^T G x ^σ = 0 .

Можно описать набор абсолютных точек каждого типа полярности. Мы снова ограничиваем обсуждение случаем, когда K - поле. ^[15]

1. Если K - поле, характеристика которого не равна двум, множество абсолютных точек ортогональной полярности образуют невырожденную квадрику (если K бесконечно, она может быть пустой). Если характеристика равна двум, абсолютные точки псевдополярности образуют гиперплоскость.
2. Все точки пространства PG (2 s + 1, K ) являются абсолютными точками нулевой полярности.
3. Абсолютные точки эрмитовой полярности образуют эрмитово многообразие , которое может быть пустым, если K бесконечно.

При составлении с самим собой корреляция φ ( x _P ) = x _H (в любом измерении) дает функцию идентичности , так что это полярность. Множеством абсолютных точек этой полярности будут точки, однородные координаты которых удовлетворяют уравнению:

х _Н ⋅ х _Р = х ₀ х ₀ + х ₁ х ₁ + ... х _п х _п = х ₀ ² + х ₁ ² + ... х _п ² = 0 .

Какие моменты в этой точке набор зависит от поля К . Если K = R, то множество пусто, нет абсолютных точек (и нет абсолютных гиперплоскостей). С другой стороны, если K = C, множество абсолютных точек образуют невырожденную квадрику ( конику в двумерном пространстве). Если K - конечное поле нечетной характеристики, абсолютные точки также образуют квадрику, но если характеристика четная, абсолютные точки образуют гиперплоскость (это пример псевдополярности).

При любой двойственности, точка Р называется полюсом гиперплоскости P ^⊥ , и эта гиперплоскость называется полярной точки Р . Используя эту терминологию, абсолютные точки полярности - это точки, инцидентные своим полярам, ​​а абсолютные гиперплоскости - это гиперплоскости, инцидентные своим полюсам.

Полярности в конечных проективных плоскостях [ править ]

По теореме Веддерберна каждое конечное тело является полем, и автоморфизм второго порядка (кроме тождественного) может существовать только в конечном поле, порядок которого является квадратом. Эти факты помогают упростить общую ситуацию для конечных дезарговых плоскостей . У нас есть: ^[16]

Если π - полярность конечной дезарговой проективной плоскости PG (2, q ), где q = p ^e для некоторого простого числа p , то количество абсолютных точек π равно q + 1, если π ортогонально или q ^3/2 + 1 если π унитарен. В ортогональном случае абсолютные точки лежат на конике, если p нечетное, или образуют прямую, если p = 2 . Унитарный случай возможен, только если q - квадрат; абсолютные точки и абсолютные линии образуютединый .

В случае общей проективной плоскости, где двойственность означает плоскую двойственность , определения полярности, абсолютных элементов, полюса и полярности остаются теми же.

Обозначим через P проективную плоскость порядка n . Подсчет аргументы можно установить , что для полярности П о Р : ^[16]

Количество неабсолютных точек (линий), попадающих в неабсолютную линию (точку), четное.

Кроме того, ^[17]

Полярность π имеет не менее n + 1 абсолютных точек, а если n не квадрат, ровно n + 1 абсолютных точек. Если π имеет ровно n + 1 абсолютную точку, то;

1. если n нечетное, абсолютные точки образуют овал , касательные которого являются абсолютными прямыми; или же
2. если n четно, абсолютные точки коллинеарны на неабсолютной прямой.

Верхняя граница количества абсолютных точек в случае, когда n является квадратом, была дана Зейбом ^[18], и чисто комбинаторный аргумент может установить: ^[19]

Полярность π в проективной плоскости квадратного порядка n = s ² имеет не более s ³ + 1 абсолютных точек. Более того, если количество абсолютных точек равно s ³ + 1 , то абсолютные точки и абсолютные прямые образуют единицу (т. Е. Каждая прямая плоскости соответствует этому набору абсолютных точек либо в 1, либо в s + 1 точках). ^[20]

Поляки и полярники [ править ]

Взаимное движение в евклидовой плоскости [ править ]

Метод, который можно использовать для построения полярности реальной проективной плоскости, имеет в качестве отправной точки построение частичной двойственности в евклидовой плоскости .

На евклидовой плоскости зафиксируем окружность C с центром O и радиусом r . Для каждой точки P, отличной от O, определите точку изображения Q так, чтобы OP ⋅ OQ = r ² . Отображение , определенное с помощью P → Q называется инверсии относительно окружности С . Прямая p, проходящая через Q, которая перпендикулярна прямой OP , называется полярной ^[21] точки P относительно окружности C..

Пусть д прямая , не проходящая через O . Опустить перпендикуляр из O , чтобы д , встречая д в точке Р (это точка д , что является самым близким к O ). Изображение Q из Р при инверсии относительно C называется полюсом ^[21] в д . Если точка M находится на прямой q (не проходящей через O ), то полюс q лежит на поляре Mнаоборот. Процесс сохранения инцидентности, в котором точки и линии преобразуются в свои полярные полюса по отношению к C , называется возвратно-поступательным движением . ^[22]

Чтобы превратить этот процесс в корреляцию, евклидову плоскость (которая не является проективной плоскостью) необходимо расширить до расширенной евклидовой плоскости , добавив линию на бесконечности и бесконечно удаленные точки, которые лежат на этой прямой. В этой расширенной плоскости мы определяем полярность точки O как бесконечно удаленную линию (а O - полюс бесконечно удаленной прямой), а полюса прямых, проходящих через точку O, являются точками бесконечности, где, если линия имеет наклон s (≠ 0), его полюс - бесконечная точка, связанная с параллельным классом прямых с наклоном −1 / s . Полюс х-ось - это точка бесконечности вертикальных линий, а полюс оси Y - точка бесконечности горизонтальных линий.

Построение корреляции на основе инверсии в круге, приведенное выше, можно обобщить, используя инверсию в коническом сечении (в расширенной реальной плоскости). Построенные таким образом корреляции имеют второй порядок, то есть полярности.

Алгебраическая формулировка [ править ]

Мы опишем эту полярность алгебраически, следуя приведенной выше конструкции в случае, когда C - единичная окружность (т. Е. R = 1 ) с центром в начале координат.

Аффинная точка P , отличная от начала координат, с декартовыми координатами ( a , b ) имеет в качестве обратной в единичной окружности точку Q с координатами,

${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {a ^ {2} + b ^ {2}}}, {\ frac {b} {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ right) .}$

Прямая, проходящая через Q и перпендикулярная прямой OP, имеет уравнение ax + by = 1 .

При переключении на однородные координаты с использованием вложения ( a , b ) ↦ ( a , b , 1) расширение на реальную проективную плоскость получается путем разрешения последней координаты равной 0. Напомним, что координаты точки записываются как векторы-столбцы и линия координаты как векторы-строки, мы можем выразить эту полярность следующим образом:

${\ displaystyle \ pi: \ mathbb {R} P ^ {2} \ rightarrow \ mathbb {R} P ^ {2}}$

такой, что

${\ displaystyle \ pi \ left ((x, y, z) ^ {\ mathsf {T}} \ right) = (x, y, -z).}$

Или, используя альтернативные обозначения, π (( х , у , г ) _Р ) = ( х , у , - г ) _L . Матрица соответствующей полуторалинейной формы (относительно стандартного базиса) имеет вид:

${\displaystyle G=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{matrix}}\right).}$

Абсолютные точки этой полярности даются решениями:

${\displaystyle 0=P^{\mathsf {T}}GP=x^{2}+y^{2}-z^{2},}$

где P ^T = ( x , y , z ) . Обратите внимание, что ограничиваясь евклидовой плоскостью (то есть положив z = 1 ), это просто единичный круг, круг инверсии.

Синтетический подход [ править ]

Теория полюсов и поляр коники на проективной плоскости может быть развита без использования координат и других метрических понятий.

Пусть С коника в PG (2, F ) , где Р представляет собой поле не характеристики двух, и пусть P точка этой плоскости не на C . Две различные секущие к конике, скажем AB и JK, определяют четыре точки на конике ( A , B , J , K ), которые образуют четырехугольник . Точка P является вершиной диагонального треугольника этого четырехугольника. Полярная из P относительно C является стороной диагонали треугольника , противоположнойP . ^[23]

Теория проективных гармонических сопряженных точек на прямой также может быть использована для определения этого отношения. Используя те же обозначения, что и выше;

Если переменная линия , проходящая через точку P является секущей коническим C , гармонические конъюгаты Р по отношению к двум точкам С на секущих все лежат на полярном из P . ^[24]

Свойства [ править ]

Есть несколько свойств, которыми обладают полярности в проективной плоскости. ^[25]

С учетом полярности П , точка P лежит на прямой д , полярная точки Q тогда и только тогда , когда Q лежит на р , поляры P .

Точки P и Q , находящиеся в этом отношении, называются сопряженными точками относительно π . Абсолютные точки называются самосопряженными в соответствии с этим определением, поскольку они инцидентны своим собственным полярам. Сопряженные линии определяются двойственно.

Линия, соединяющая две самосопряженные точки, не может быть самосопряженной линией.

Линия не может содержать более двух самосопряженных точек.

Полярность индуцирует инволюцию сопряженных точек на любой прямой, которая не является самосопряженной.

Треугольник, в котором каждая вершина является полюсом противоположной стороны, называется самополярным треугольником.

Корреляция, которая отображает три вершины треугольника на их противоположные стороны, соответственно, является полярностью, и этот треугольник самополярен по отношению к этой полярности.

История [ править ]

Принцип двойственности принадлежит Джозефу Диасу Гергонну (1771–1859), поборнику зарождающейся тогда области аналитической геометрии и основателю и редактору первого журнала, полностью посвященного математике, Annales de mathématiques pures et appliquées . Жергонн и Шарль Жюльен Брианшон (1785–1864) разработали концепцию плоской двойственности. Жергонн придумал термины «двойственность» и «полярность» (но «полюс» принадлежит Ф.-Ж. Сервуа ) и принял стиль написания двойных утверждений бок о бок в своем дневнике.

Жан-Виктор Понселе (1788–1867), автор первого текста по проективной геометрии , Traité des propriétés projectives des figure , был синтетическим геометром, который систематически развивал теорию полюсов и поляр по отношению к конике. Понселе утверждал, что принцип двойственности является следствием теории полюсов и полюсов.

Юлиусу Плюккеру (1801–1868) приписывают распространение концепции двойственности на трехмерные и более высокие проективные пространства.

Понселе и Жергонн начинали как серьезные, но дружелюбные соперники, представляя свои различные точки зрения и методы в статьях, опубликованных в « Анналах де Жергонн» . Возрос антагонизм по поводу приоритета в провозглашении принципа двойственности своим собственным. Молодой Плюккер был вовлечен в эту вражду, когда статья, которую он представил Гергонну, была настолько сильно отредактирована к тому времени, когда она была опубликована, что Понселе был введен в заблуждение, полагая, что Плюккер заимствовал его. Ядовитая атака Понселе была отражена Плюккером при поддержке Жергонна, и в конечном итоге ответственность была возложена на Жергонна. ^[26] Об этой вражде, Пьер Самуэль ^[27] Язвительно заметил, что, поскольку оба мужчины служили во французской армии, а Понселе был генералом, а Жергонн - простым капитаном, точка зрения Понселе преобладала, по крайней мере, среди их французских современников.

См. Также [ править ]

• Двойная кривая

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Артин, Э. (1957), «1.4 Двойственность и спаривание», Геометрическая алгебра , Wiley Interscience, ISBN 0-470-03432-7
• Баер, Рейнхольд (2005) [1952]. Линейная алгебра и проективная геометрия . Минеола Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0-486-44565-8.
• Барвик, Сьюзен; Эберт, Гэри (2008), Униталы в проективных плоскостях , Springer, DOI : 10.1007 / 978-0-387-76366-8 , ISBN 978-0-387-76364-4
• Birkhoff, G .; фон Неймана, Дж (1936), "Логика квантовой механики", Анналы математики , 37 : 823-843, DOI : 10,2307 / 1968621
• Бойер, Карл Б. (2004) [1956], История аналитической геометрии , Дувр, ISBN 978-0-486-43832-0
• Кокстер, HSM (1964), проективная геометрия , Блейсделл
• Кокстер, HSM ; Greitzer, SL (1967), Geometry Revisited , Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, ISBN 0-88385-600-X
• Дембовски, Питер (1968), Конечные геометрии , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR  0233275
• Евс, Ховард (1963), Обзор геометрии, том I , Аллин и Бэкон
• Хиршфельд, JWP (1979), Проективные геометрии над конечными полями , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-850295-1
• Хьюз, Дэниел Р .; Пайпер, Фред К. (1973), Проективные плоскости , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
• Самуэль, Пьер (1988). Проективная геометрия . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96752-4.

Дальнейшее чтение [ править ]

• Альберт, А. Адриан; Сандлер, Рубен (1968), Введение в конечные проективные плоскости , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон
• F. Bachmann, 1959. Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff , Springer, Berlin.
• Беннетт, МК (1995). Аффинная и проективная геометрия . Нью-Йорк: Вили. ISBN 0-471-11315-8.
• Бойтельшпахер, Альбрехт; Розенбаум, Юте (1998). Проективная геометрия: от основ до приложений . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-48277-1.
• Касс, Рей (2006), Проективная геометрия: Введение , Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN 0-19-929886-6
• Седерберг, Джудит Н. (2001). Курс современной геометрии . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98972-2.
• Кокстер, HSM , 1995. Реальная проективная плоскость , 3-е изд. Springer Verlag.
• Кокстер, HSM, 2003. Проективная геометрия , 2-е изд. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-40623-7 . 
• Кокстер, HSM (1969). Введение в геометрию . Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-50458-0.
• Гарнер, Линн Э. (1981). Очерк проективной геометрии . Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN 0-444-00423-8.
• Гринберг, MJ, 2007. Евклидовы и неевклидовы геометрии , 4-е изд. Фримен.
• Хартсхорн, Робин (2009), Основы проективной геометрии (2-е изд.), Ishi Press, ISBN 978-4-87187-837-1
• Хартсхорн, Робин, 2000. Геометрия: Евклид и не только . Springer.
• Гильберт, Д. и Кон-Фоссен, С., 1999. Геометрия и воображение , 2-е изд. Челси.
• Kárteszi, F. (1976), Введение в конечную геометрию , Амстердам: Северная Голландия, ISBN 0-7204-2832-7
• Михалек, Р.Дж. (1972). Проективная геометрия и алгебраические структуры . Нью-Йорк: Academic Press. ISBN 0-12-495550-9.
• Раманан, С. (август 1997 г.). «Проективная геометрия». Резонанс . Springer India. 2 (8): 87–94. DOI : 10.1007 / BF02835009 . ISSN  0971-8044 .
• Стивенсон, Фредерик В. (1972), Проективные самолеты , Сан-Франциско: WH Freeman and Company, ISBN 0-7167-0443-9
• Веблен, Освальд; Янг, JWA (1938). Проективная геометрия . Бостон: ISBN Ginn & Co. 978-1-4181-8285-4.

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Принцип двойственности» . MathWorld .